Let G be a stratified homogeneous group with homogeneous dimension Q and whose Lie algebra is generated by the left-invariant vector fields X1,…,Xd1. Let 1 < p,q < ∞, α := Q/p and δ > 0. We prove that for any function f ∈Ḟqα,p(G) there exists a function F ∈ L∞(G) ∩Ḟ qα,p(G) such that ∑i=1k∥X i(f − F)∥Ḟqα−1,p(G)≤δ∥f∥Ḟqα,p(G), ∥F∥L∞ (G)+ ∥F∥Ḟqα,p(G)≤Cδ∥f∥Ḟqα,p(G) where k is the largest integer smaller than min(p,d1) and Cδ is a positive constant depending only on δ. Here, Ḟqα,p(G) is a homogeneous Triebel–Lizorkin type space adapted to G. This generalizes earlier results of Bourgain, Brezis [New estimates for eliptic equations and Hodge type systems, J. Eur. Math. Soc. 9(2) (2007) 277–315] and of Bousquet, Russ, Wang, Yung [Approximation in fractional Sobolev spaces and Hodge systems, J. Funct. Anal. 276(5) (2019) 1430–1478] in the Euclidean case and answers an open problem in the latter reference.

中文翻译：

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分层同质组的临界正则函数逼近

让G是具有同质维度的分层同质组问并且其李代数由左不变向量场生成X1,…,Xd1. 让1 < p,q < ∞,α ：= 问/p和δ > 0. 我们证明对于任何函数F ∈Fqα,p(G)存在一个函数F ∈ 大号∞(G) ∩F qα,p(G)这样 ∑一世=1ķ∥X 一世(F - F)∥Fqα-1,p(G)≤δ∥F∥Fqα,p(G), ∥F∥大号∞ (G)+ ∥F∥Fqα,p(G)≤Cδ∥F∥Fqα,p(G) 在哪里ķ是小于的最大整数分钟(p,d1)和Cδ是一个正常数，仅取决于δ. 这里，Ḟqα,p(G)是一个齐次 Triebel-Lizorkin 型空间，适用于G. 这概括了 Bourgain, Brezis [椭圆方程和霍奇类型系统的新估计，J.欧元。数学。社会党。 9(2) (2007) 277–315] 和 Bousquet, Russ, Wang, Yung [在分数 Sobolev 空间和 Hodge 系统中的近似，J. 功能。肛门。 276(5) (2019) 1430–1478] 在欧几里得案例中，并在后一个参考文献中回答了一个悬而未决的问题。