The following problem is considered. A Turing machine $M$, that accepts a string of fixed length $t$ as input, runs for a time not exceeding a fixed value $n$ and is guaranteed to produce a binary output, is given. It's required to find a string $X$ such that $M(X) = 1$ effectively in terms of $t$, $n$, the size of the alphabet of $M$ and the number of states of $M$. The problem is close to the well-known Circuit Satisfiability Problem. The difference from Circuit Satisfiability Problem is that when reduced to Circuit Satisfiability Problem, we get circuits with a rich internal structure (in particular, these are circuits of small Kolmogorov complexity). The proof system, operating with potential proofs of the fact that, for a given machine $M$, the string $X$ does not exist, is provided, its completeness is proved and the algorithm guaranteed to find a proof of the absence of the string $X$ in the case of its actual absence is presented (in the worst case, the algorithm is exponential, but in a wide class of interesting cases it works in polynomial time). We present an algorithm searching for the string $X$, for which its efficiency was neither tested, nor proven, and it may require serious improvement in the future, so it can be regarded as an idea. We also discuss first steps towards solving a more complex problem similar to this one: a Turing machine $M$, that accepts two strings $X$ and $Y$ of fixed length and running for a time that does not exceed a fixed value, is given; it is required to build an algorithm $N$ that builds a string $Y = N(X)$ for any string $X$, such that $M(X, Y) = 1$ (details in the introduction).

中文翻译：

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小复杂电路的电路可满足性问题

考虑以下问题。给出了一个图灵机 $M$，它接受一个固定长度 $t$ 的字符串作为输入，运行时间不超过一个固定值 $n$，并保证产生一个二进制输出。需要找到一个字符串 $X$ 使得 $M(X) = 1$ 在 $t$、$n$、$M$ 的字母表大小和 $M$ 的状态数方面有效。该问题接近著名的电路可满足性问题。与电路可满足性问题的不同之处在于，当简化为电路可满足性问题时，我们得到具有丰富内部结构的电路（特别是，这些是小柯尔莫哥洛夫复杂度的电路）。证明系统提供了以下事实的潜在证明：对于给定的机器 $M$，字符串 $X$ 不存在，它的完整性得到了证明，并且算法保证在实际不存在的情况下找到字符串 $X$ 不存在的证明（在最坏的情况下，该算法是指数型的，但在许多有趣的情况下，它在多项式时间内工作）。我们提出了一个搜索字符串$X$的算法，它的效率既没有经过测试也没有证明，未来可能需要认真改进，因此可以将其视为一个想法。我们还讨论了解决与此类似的更复杂问题的第一步：图灵机 $M$，它接受两个固定长度的字符串 $X$ 和 $Y$，并运行不超过固定值的时间，给出; 需要构建一个算法$N$，该算法为任何字符串$X$ 构建一个字符串$Y = N(X)$，使得$M(X, Y) = 1$（详细信息在介绍中）。该算法是指数型的，但在许多有趣的情况下，它在多项式时间内有效）。我们提出了一个搜索字符串$X$的算法，它的效率既没有经过测试也没有证明，未来可能需要认真改进，因此可以将其视为一个想法。我们还讨论了解决与此类似的更复杂问题的第一步：图灵机 $M$，它接受两个固定长度的字符串 $X$ 和 $Y$，并运行不超过固定值的时间，给出; 需要构建一个算法$N$，该算法为任何字符串$X$ 构建一个字符串$Y = N(X)$，使得$M(X, Y) = 1$（详细信息在介绍中）。该算法是指数型的，但在许多有趣的情况下，它在多项式时间内有效）。我们提出了一个搜索字符串$X$的算法，它的效率既没有经过测试也没有证明，未来可能需要认真改进，因此可以将其视为一个想法。我们还讨论了解决与此类似的更复杂问题的第一步：图灵机 $M$，它接受两个固定长度的字符串 $X$ 和 $Y$，并运行不超过固定值的时间，给出; 需要构建一个算法$N$，该算法为任何字符串$X$ 构建一个字符串$Y = N(X)$，使得$M(X, Y) = 1$（详细信息在介绍中）。也没有被证实，未来可能需要认真改进，所以它可以被视为一个想法。我们还讨论了解决与此类似的更复杂问题的第一步：图灵机 $M$，它接受两个固定长度的字符串 $X$ 和 $Y$，并运行不超过固定值的时间，给出; 需要构建一个算法$N$，该算法为任何字符串$X$ 构建一个字符串$Y = N(X)$，使得$M(X, Y) = 1$（详细信息在介绍中）。也没有被证实，未来可能需要认真改进，所以它可以被视为一个想法。我们还讨论了解决与此类似的更复杂问题的第一步：图灵机 $M$，它接受两个固定长度的字符串 $X$ 和 $Y$，并运行不超过固定值的时间，给出; 需要构建一个算法$N$，该算法为任何字符串$X$ 构建一个字符串$Y = N(X)$，使得$M(X, Y) = 1$（详细信息在介绍中）。