Abstract We focus here on a class of fourth-order parabolic equations that can be written as a system of second-order equations by introducing an auxiliary variable. We design a novel second-order fully discrete mixed finite element method to approximate these equations. In our approach, we propose new techniques using the second-order backward differentiation formula for the time derivative and a special technique for the approximation of nonlinear terms. The use of the proposed technique for nonlinear terms makes the developed numerical scheme efficient in terms of computational cost since the proposed method only deals with a linear system at each time step and no iterative resolution is needed. A numerical convergence study is performed using the method of manufactured and analytical solutions of the system where we investigate different boundary conditions. With respect to the spatial discretization, convergence rates are found to at least match a priori error estimates available for linear problems. The convergence analysis is completed with an investigation of the temporal discretization where we numerically demonstrate the second-order time-accuracy of the proposed scheme using the method of reference solution. We present a series of numerical tests to demonstrate the efficiency and robustness of the proposed scheme.

中文翻译：

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四阶非线性扩散方程的高效二阶半隐式有限元方法

摘要 我们在此关注一类四阶抛物线方程，通过引入辅助变量可以将其写成一个二阶方程组。我们设计了一种新颖的二阶完全离散混合有限元方法来逼近这些方程。在我们的方法中，我们提出了使用时间导数的二阶后向微分公式和非线性项近似的特殊技术的新技术。由于所提出的方法仅在每个时间步处理线性系统，并且不需要迭代分辨率，因此将所提出的技术用于非线性项使得所开发的数值方案在计算成本方面有效。数值收敛研究是使用系统的制造和解析解的方法进行的，我们研究了不同的边界条件。关于空间离散化，发现收敛速度至少与可用于线性问题的先验误差估计相匹配。收敛分析通过对时间离散化的研究来完成，其中我们使用参考解的方法数值证明了所提出方案的二阶时间精度。我们提出了一系列数值测试来证明所提出方案的效率和稳健性。收敛分析通过对时间离散化的研究来完成，其中我们使用参考解的方法数值证明了所提出方案的二阶时间精度。我们提出了一系列数值测试来证明所提出方案的效率和稳健性。收敛分析通过对时间离散化的研究来完成，其中我们使用参考解的方法数值证明了所提出方案的二阶时间精度。我们提出了一系列数值测试来证明所提出方案的效率和稳健性。