Diagrammatic reducibility DR and its generalization vertex asphericity VA are combinatorial tools developed for detecting asphericity of a 2-complex. Here we present tests for a relative version of VA that apply to pairs of 2-complexes $(L,K)$, where $K$ is a subcomplex of $L$. We show that a relative weight test holds for injective labeled oriented trees, implying that they are VA and hence aspherical. This strengthens a result obtained by the authors in 2017 and simplifies the original proof.

中文翻译：

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相对顶点非球面度

图解可约性 DR 及其泛化顶点非球面度 VA 是为检测 2 复数的非球面度而开发的组合工具。在这里，我们展示了适用于成对 2-复形 $(L,K)$ 的 VA 相对版本的测试，其中 $K$ 是 $L$ 的子复形。我们表明，相对权重测试适用于单射标记定向树，这意味着它们是 VA，因此是非球面的。这加强了作者在 2017 年获得的结果并简化了原始证明。