We study the conditional regularity for the incompressible Navier–Stokes equations in terms of one directional derivative of the velocity field. We show that if $u$ is a weak solution in the whole three dimensional space and ${\partial }_{3}u\in L^p(0,T;L^q\left({\mathbb{R}}^3\right))$, $T>0$, where $2∕p+3∕q=2$ and $q\in (3,19∕6]$, then $u$ is regular on $(0,T]$, crossing so for the first time the barrier $q=3$. The proof is based on a suitable combination of a blow-up argument and mutual estimates of certain integral quantities pertained to the rescaled solution.

中文翻译：

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爆破论证的Navier-Stokes方程的最佳正则性准则

我们根据速度场的一个方向导数研究了不可压缩的Navier-Stokes方程的条件正则性。我们证明如果$ü$ 在整个三维空间中是一个弱解，并且 ${\partial }_3ü\in {\mathrm{大号}}^p（0，Ť;{\mathrm{大号}}^q（{\mathbb{[R}}^3））$， $Ť>0$，在哪里 $2∕p+3∕q=2$ 和 $q\in （3，19∕6]$， 然后 $ü$ 是定期的 $（0，Ť]$，第一次越过障碍 $q=3$。该证明基于爆破参数和与重新定标的解决方案有关的某些积分量的相互估计的适当组合。