A pair $(T_0,T_1)$ of disjoint sets of vertices of a graph $G$ is called a perfect bitrade in $G$ if any ball of radius 1 in $G$ contains exactly one vertex in $T_0$ and $T_1$ or none simultaneously. The volume of a perfect bitrade $(T_0,T_1)$ is the size of $T_0$. In particular, if $C_0$ and $C_1$ are distinct perfect codes with minimum distance $3$ in $G$ then $(C_0\setminus C_1,C_1\setminus C_0)$ is a perfect bitrade. For any $q\geq 3$, $r\geq 1$ we construct perfect bitrades in the Hamming graph $H(qr+1,q)$ of volume $(q!)^r$ and show that for $r=1$ their volume is minimum.

中文翻译：

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关于汉明图中完美比特交易的存在

如果 $G$ 中半径为 1 的任何球恰好包含 $T_0$ 和 $T_1 中的一个顶点，则图 $G$ 的一对不相交顶点集 $(T_0,T_1)$ 被称为 $G$ 中的完美比特交易$ 或同时没有。完美比特币交易 $(T_0,T_1)$ 的交易量是 $T_0$ 的大小。特别是，如果 $C_0$ 和 $C_1$ 是不同的完美代码，在 $G$ 中的最小距离为 $3$，则 $(C_0\setminus C_1,C_1\setminus C_0)$ 是一个完美的比特币。对于任何 $q\geq 3$, $r\geq 1$，我们在交易量 $(q!)^r$ 的汉明图 $H(qr+1,q)$ 中构建完美的比特率，并证明对于 $r= 1$ 他们的数量是最低的。