We prove the analogue of the Martingale Convergence Theorem for polynomial spline sequences. Given a natural number $k $ and a sequence $(t_i)$ of knots in $[0,1]$ with multiplicity $\le k-1$, we let $P_n $ be the orthogonal projection onto the space of spline polynomials in $[0,1] $ of degree $k-1$ corresponding to the grid $(t_i)_{i=1}^n$. Let $X$ be a Banach space with the Radon-Nikod\'{y}m property. Let $(g_n)$ be a bounded sequence in the Bochner-Lebesgue space $L^1_X [0,1]$ satisfying $$ g_n = P_n ( g_{n+1} ),\qquad n \in \mathbb N . $$ We prove the existence of $\lim_{n\to \infty} g_n(t) $ in $X$ for almost every $t \in [0,1]. $ Already in the scalar valued case $X = \mathbb R $ the result is new.

中文翻译：

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样条序列几乎处处收敛

我们证明了多项式样条序列的马丁格尔收敛定理的类似物。给定一个自然数 $k $ 和 $[0,1]$ 中具有多重性 $\le k-1$ 的节点序列 $(t_i)$，我们让 $P_n $ 是在样条多项式空间上的正交投影在对应于网格 $(t_i)_{i=1}^n$ 的度数 $k-1$ 的 $[0,1] $ 中。令 $X$ 是具有 Radon-Nikod\'{y}m 性质的 Banach 空间。设 $(g_n)$ 是 Bochner-Lebesgue 空间 $L^1_X [0,1]$ 中满足 $$ g_n = P_n ( g_{n+1} ),\qquad n \in \mathbb N 的有界序列。$$ 我们证明了 $\lim_{n\to \infty} g_n(t) $ 在 $X$ 中几乎每个 $t \in [0,1] 的存在。$ 已经在标量值的情况下 $X = \mathbb R $ 结果是新的。