We present new methods for solving the Satisfiability Modulo Theories problem over the theory of Quantifier-Free Non-linear Integer Arithmetic, SMT(QF-NIA), which consists in deciding the satisfiability of ground formulas with integer polynomial constraints. Following previous work, we propose to solve SMT(QF-NIA) instances by reducing them to linear arithmetic: non-linear monomials are linearized by abstracting them with fresh variables and by performing case splitting on integer variables with finite domain. For variables that do not have a finite domain, we can artificially introduce one by imposing a lower and an upper bound, and iteratively enlarge it until a solution is found (or the procedure times out). The key for the success of the approach is to determine, at each iteration, which domains have to be enlarged. Previously, unsatisfiable cores were used to identify the domains to be changed, but no clue was obtained as to how large the new domains should be. Here we explain two novel ways to guide this process by analyzing solutions to optimization problems: (i) to minimize the number of violated artificial domain bounds, solved via a Max-SMT solver, and (ii) to minimize the distance with respect to the artificial domains, solved via an Optimization Modulo Theories (OMT) solver. Using this SMT-based optimization technology allows smoothly extending the method to also solve Max-SMT problems over non-linear integer arithmetic. Finally we leverage the resulting Max-SMT(QF-NIA) techniques to solve $\exists \forall$ formulas in a fragment of quantified non-linear arithmetic that appears commonly in verification and synthesis applications.

中文翻译：

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求解整数非线性公式的不完全 SMT 技术

我们提出了解决基于无量词非线性整数算法 SMT(QF-NIA) 理论的可满足性模理论问题的新方法，该方法包括确定具有整数多项式约束的基本公式的可满足性。根据之前的工作，我们建议通过将 SMT(QF-NIA) 实例简化为线性算术来解决它们：非线性单项式通过用新变量抽象它们并通过对具有有限域的整数变量执行案例拆分来线性化。对于没有有限域的变量，我们可以通过强加一个下界和一个上限人为地引入一个，并迭代地扩大它直到找到一个解决方案（或过程超时）。该方法成功的关键是在每次迭代时确定必须扩大哪些域。之前，使用不可满足的核心来识别要更改的域，但没有获得关于新域应该有多大的线索。在这里，我们通过分析优化问题的解决方案来解释指导这个过程的两种新方法：（i）最小化违反人工域边界的数量，通过 Max-SMT 求解器求解，以及（ii）最小化相对于人工域，通过优化模数理论 (OMT) 求解器求解。使用这种基于 SMT 的优化技术可以平滑地扩展该方法，以解决非线性整数算法上的 Max-SMT 问题。最后，我们利用由此产生的 Max-SMT(QF-NIA) 技术来解决验证和综合应用中常见的量化非线性算法片段中的 $\exists \forall$ 公式。但没有获得关于新域应该有多大的线索。在这里，我们通过分析优化问题的解决方案来解释指导这个过程的两种新方法：（i）最小化违反人工域边界的数量，通过 Max-SMT 求解器求解，以及（ii）最小化相对于人工域，通过优化模数理论 (OMT) 求解器求解。使用这种基于 SMT 的优化技术可以平滑地扩展该方法，以解决非线性整数算法上的 Max-SMT 问题。最后，我们利用由此产生的 Max-SMT(QF-NIA) 技术来解决验证和综合应用中常见的量化非线性算法片段中的 $\exists \forall$ 公式。但没有获得关于新域应该有多大的线索。在这里，我们通过分析优化问题的解决方案来解释指导这个过程的两种新方法：（i）最小化违反人工域边界的数量，通过 Max-SMT 求解器求解，以及（ii）最小化相对于人工域，通过优化模数理论 (OMT) 求解器求解。使用这种基于 SMT 的优化技术可以平滑地扩展该方法，以解决非线性整数算法上的 Max-SMT 问题。最后，我们利用由此产生的 Max-SMT(QF-NIA) 技术来解决验证和综合应用中常见的量化非线性算法片段中的 $\exists \forall$ 公式。在这里，我们通过分析优化问题的解决方案来解释指导这个过程的两种新方法：（i）最小化违反人工域边界的数量，通过 Max-SMT 求解器求解，以及（ii）最小化相对于人工域，通过优化模数理论 (OMT) 求解器求解。使用这种基于 SMT 的优化技术可以平滑地扩展该方法，以解决非线性整数算法上的 Max-SMT 问题。最后，我们利用由此产生的 Max-SMT(QF-NIA) 技术来解决验证和综合应用中常见的量化非线性算法片段中的 $\exists \forall$ 公式。在这里，我们通过分析优化问题的解决方案来解释指导这个过程的两种新方法：（i）最小化违反人工域边界的数量，通过 Max-SMT 求解器求解，以及（ii）最小化相对于人工域，通过优化模数理论 (OMT) 求解器求解。使用这种基于 SMT 的优化技术可以平滑地扩展该方法，以解决非线性整数算法上的 Max-SMT 问题。最后，我们利用由此产生的 Max-SMT(QF-NIA) 技术来解决验证和综合应用中常见的量化非线性算法片段中的 $\exists \forall$ 公式。(ii) 最小化与人工域的距离，通过优化模理论 (OMT) 求解器求解。使用这种基于 SMT 的优化技术可以平滑地扩展该方法，以解决非线性整数算法上的 Max-SMT 问题。最后，我们利用由此产生的 Max-SMT(QF-NIA) 技术来解决验证和综合应用中常见的量化非线性算法片段中的 $\exists \forall$ 公式。(ii) 最小化与人工域的距离，通过优化模理论 (OMT) 求解器求解。使用这种基于 SMT 的优化技术可以平滑地扩展该方法，以解决非线性整数算法上的 Max-SMT 问题。最后，我们利用由此产生的 Max-SMT(QF-NIA) 技术来解决验证和综合应用中常见的量化非线性算法片段中的 $\exists \forall$ 公式。