SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 52, Issue 5, Page 4101-4139, January 2020.
In recent years there has been an emerging interest in PDE-like flows defined on finite graphs, with applications in clustering and image segmentation. In particular for image segmentation and semisupervised learning Bertozzi and Flenner [Multiscale Model. Simul., 10 (2012), pp. 1090--1118] developed an algorithm based on the Allen--Cahn (AC) gradient flow of a graph Ginzburg--Landau functional, and Merkurjev, Kostić, and Bertozzi [SIAM J. Imaging Sci., 6 (2013), pp. 1903--1930] devised a variant algorithm based instead on graph Merriman--Bence--Osher (MBO) dynamics. This work offers rigorous justification for this use of the MBO scheme in place of AC flow. First, we choose the double-obstacle potential for the Ginzburg--Landau functional and derive well-posedness and regularity results for the resulting graph AC flow. Next, we exhibit a “semidiscrete” time-discretization scheme for AC flow of which the MBO scheme is a special case. We investigate the long-time behavior of this scheme and prove its convergence to the AC trajectory as the time-step vanishes. Finally, following a question raised by Van Gennip, Guillen, Osting, and Bertozzi [Milan J. Math., 82 (2014), pp. 3--65], we exhibit results toward proving a link between double-obstacle AC flow and mean curvature flow on graphs. We show some promising $\Gamma$-convergence results and translate to the graph setting two comparison principles used by Chen and Elliott [Proc. Math. Phys. Sci., 444 (1994), pp. 429--445] to prove the analogous link in the continuum.

中文翻译：

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图Merriman-Bence-Osher作为图Allen-Cahn流的半离散隐式Euler方案

SIAM数学分析杂志，第52卷，第5期，第4101-4139页，2020年1月。
近年来，人们对在有限图上定义的类PDE流产生了新的兴趣，并将其应用于聚类和图像分割。特别是对于图像分割和半监督学习Bertozzi和Flenner [多尺度模型。Simul。，10（2012），pp。1090--1118]开发了一种基于Ginzburg-Landau泛函和Merkurjev，Kostić和Bertozzi图的Allen-Cahn（AC）梯度流的算法。 《影像科学》，2013年第6期，第1903--1930页设计了一种基于图Merriman-Bence-Osher（MBO）动力学的变体算法。这项工作为使用MBO方案代替AC流量提供了严格的理由。首先，我们为Ginzburg-Landau函数选择了双障碍势，并为生成的图AC流量导出了适定性和规则性结果。下一个，我们展示了一种针对交流流的“半离散”时间离散方案，其中MBO方案是特例。我们研究了该方案的长期行为，并证明了该方案随着时间步长的消失而收敛于AC轨迹。最后，在Van Gennip，Guillen，Osting和Bertozzi提出了一个问题之后[Milan J. Math。，82（2014），第3--65页]，我们展示了证明双障碍AC流与水之间的联系的结果。图上的平均曲率流。我们展示了一些有希望的$ \ Gamma $收敛结果，并将其转化为图，设置了Chen和Elliott [Proc。数学。物理 Sci。，444（1994），第429--445页]证明连续体中的类似链接。我们研究了该方案的长期行为，并证明了该方案随着时间步长的消失而收敛于AC轨迹。最后，在Van Gennip，Guillen，Osting和Bertozzi提出了一个问题之后[Milan J. Math。，82（2014），第3--65页]，我们展示了证明双障碍AC流与水之间的联系的结果。图上的平均曲率流。我们展示了一些有希望的$ \ Gamma $收敛结果，并将其转化为图，设置了Chen和Elliott [Proc。数学。物理 Sci。，444（1994），第429--445页]证明连续体中的类似链接。我们研究了该方案的长期行为，并证明了该方案随着时间步长的消失而收敛于AC轨迹。最后，在Van Gennip，Guillen，Osting和Bertozzi提出了一个问题之后[Milan J. Math。，82（2014），第3--65页]，我们展示了证明双障碍AC流与水之间的联系的结果。图上的平均曲率流。我们展示了一些有希望的$ \ Gamma $收敛结果，并将其转化为图，设置了Chen和Elliott [Proc。数学。物理 Sci。，444（1994），第429--445页]证明连续体中的类似链接。我们展示了在图上证明双障碍交流流与平均曲率流之间存在联系的结果。我们展示了一些有希望的$ \ Gamma $收敛结果，并将其转化为图，设置了Chen和Elliott [Proc。数学。物理 Sci。，444（1994），第429--445页]证明连续体中的类似链接。我们展示了在图上证明双障碍交流流与平均曲率流之间存在联系的结果。我们展示了一些有希望的$ \ Gamma $收敛结果，并将其转化为图，设置了Chen和Elliott [Proc。数学。物理 Sci。，444（1994），第429--445页]证明连续体中的类似链接。