We consider the quantum Sherrington-Kirkpatrick (SK) spin-glass model with transverse field and provide a formula for its free energy in the thermodynamic limit, valid for all inverse temperatures $\beta>0$. To characterize the free energy, we use the path integral representation of the partition function and approximate the model by a sequence of finite-dimensional vector-spin glasses with $\mathbb{R}^d$-valued spins. This enables us to use results of Panchenko who generalized in \cite{Pan2,Pan3} the Parisi formula to classical vector-spin glasses. As a consequence, we can express the thermodynamic limit of the free energy of the quantum SK model as the $d\to\infty$ limit of the free energies of the $d$-dimensional approximations of the model.

中文翻译：

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具有横向场的量子 Sherrington-Kirkpatrick 自旋玻璃模型的自由能

我们考虑具有横向场的量子 Sherrington-Kirkpatrick (SK) 自旋玻璃模型，并提供热力学极限下其自由能的公式，对所有逆温度 $\beta>0$ 有效。为了表征自由能，我们使用分配函数的路径积分表示，并通过一系列具有 $\mathbb{R}^d$ 值自旋的有限维矢量自旋眼镜来近似模型。这使我们能够使用 Panchenko 的结果，他在 \cite{Pan2,Pan3} 中将 Parisi 公式推广到经典矢量自旋眼镜。因此，我们可以将量子 SK 模型的自由能的热力学极限表示为模型的 $d$ 维近似值的自由能的 $d\to\infty$ 极限。