Let $\mathfrak g$ be a simple Lie algebra, $\mathfrak h$ a Levi subalgebra, and $C_{\mathfrak h}\in U(\mathfrak h)$ the Casimir element defined via the restriction of the Killing form on $\mathfrak g$ to $\mathfrak h$. We study $C_{\mathfrak h}$-eigenvalues in $\mathfrak g/\mathfrak h$ and related $\mathfrak h$-modules. Without loss of generality, one may assume that $\mathfrak h$ is a maximal Levi. Then $\mathfrak g$ is equipped with the natural $\mathbb Z$-grading $\mathfrak g=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}\mathfrak g(i)$ such that $\mathfrak g(0)=\mathfrak h$ and $\mathfrak g(i)$ is a simple $\mathfrak h$-module for $i\ne 0$. We give explicit formulae for the $C_\mathfrak h$-eigenvalues in each $\mathfrak g(i)$, $i\ne 0$, and relate eigenvalues of $C_\mathfrak h$ in $\bigwedge^\bullet\mathfrak g(1)$ to the dimensions of abelian subspaces of $\mathfrak g(1)$. We also prove that if $\mathfrak a\subset\mathfrak g(1)$ is abelian, whereas $\mathfrak g(1)$ is not, then $\dim\mathfrak a\le \dim\mathfrak g(1)/2$. Moreover, if $\dim\mathfrak a=(\dim\mathfrak g(1))/2$, then $\mathfrak a$ has an abelian complement. The $\mathbb Z$-gradings of height $\le 2$ are closely related to involutions of $\mathfrak g$, and we provide a connection of our theory to (an extension of) the "strange formula" of Freudenthal-de Vries.

中文翻译：

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与简单李代数的列维子代数相关联的卡西米尔元及其应用

令 $\mathfrak g$ 是一个简单的李代数，$\mathfrak h$ 是一个列维子代数，$C_{\mathfrak h}\in U(\mathfrak h)$ 是通过 Killing 形式的限制定义的 Casimir 元素$\mathfrak g$ 到 $\mathfrak h$。我们研究 $\mathfrak g/\mathfrak h$ 中的 $C_{\mathfrak h}$-特征值和相关的 $\mathfrak h$-modules。不失一般性，可以假设 $\mathfrak h$ 是一个极大的 Levi。然后 $\mathfrak g$ 配备自然 $\mathbb Z$-grading $\mathfrak g=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}\mathfrak g(i)$ 使得 $\mathfrak g(0)= \mathfrak h$ 和 $\mathfrak g(i)$ 是一个简单的 $\mathfrak h$ 模块，用于 $i\ne 0$。我们给出了每个 $\mathfrak g(i)$, $i\ne 0$ 中 $C_\mathfrak h$-特征值的显式公式，并将 $\bigwedge^\bullet\mathfrak g(1)$ 中 $C_\mathfrak h$ 的特征值与 $\mathfrak g(1)$ 的阿贝尔子空间的维数相关联。我们还证明，如果 $\mathfrak a\subset\mathfrak g(1)$ 是阿贝尔，而 $\mathfrak g(1)$ 不是，那么 $\dim\mathfrak a\le \dim\mathfrak g(1) /2$。此外，如果 $\dim\mathfrak a=(\dim\mathfrak g(1))/2$，则 $\mathfrak a$ 具有阿贝尔补码。高度 $\le 2$ 的 $\mathbb Z$ 分级与 $\mathfrak g$ 的对合密切相关，我们将我们的理论与 Freudenthal-de 的“奇怪公式”（的扩展）联系起来弗里斯。那么 $\mathfrak a$ 有一个阿贝尔补码。高度 $\le 2$ 的 $\mathbb Z$ 分级与 $\mathfrak g$ 的对合密切相关，我们将我们的理论与 Freudenthal-de 的“奇怪公式”（的扩展）联系起来弗里斯。那么 $\mathfrak a$ 有一个阿贝尔补码。高度 $\le 2$ 的 $\mathbb Z$ 分级与 $\mathfrak g$ 的对合密切相关，我们将我们的理论与 Freudenthal-de 的“奇怪公式”（的扩展）联系起来弗里斯。