Abstract In this work, we present a novel Lagrange–Galerkin method for the resolution of the scalar pure-convection and convection-dominated diffusion equations in non-divergence-free velocity fields. The scheme has been formulated so that (i) time-integration is carried out by means of an arbitrary order backward differentiation formula, (ii) finite element space discretizations of any order can be employed, and (iii) it satisfies a discrete mass balance equation at each simulation instant and preserves mass in those cases in which no fluid enters nor leaves the control domain, as long as the integrals involved are computed exactly. These properties are achieved by posing a conservation law for a weighted mass –from which the standard mass can be seen as a particular case– that can be easily discretized in time and in space with any order of accuracy. Numerical experiments –which include a three-dimensional test– show that the method is as accurate in time as the employed time-marching formula, as accurate in space as the finite element discretization, and generally more accurate –especially in terms of mass conservation errors– and efficient than the classic, non-conservative Lagrange–Galerkin method. To the best of our knowledge, this is the first conservative Lagrange–Galerkin method for convection-dominated equations that considers both non-divergence-free velocity fields and time and space discretizations of any order.

中文翻译：

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用于求解非无散度速度场中的标量对流主导方程的近似保守的高阶 Lagrange-Galerkin 方法

摘要 在这项工作中，我们提出了一种新的拉格朗日-伽辽金方法，用于解析非无发散速度场中的标量纯对流和对流主导的扩散方程。该方案的公式化使得 (i) 时间积分通过任意阶向后微分公式进行，(ii) 可以使用任意阶的有限元空间离散化，以及 (iii) 它满足离散质量平衡在没有流体进入或离开控制域的情况下，只要精确计算所涉及的积分，方程就可以在每个模拟瞬间保持质量。这些特性是通过为加权质量提出守恒定律来实现的——标准质量可以被视为一种特殊情况——可以很容易地在时间和空间中以任何精度离散化。包括三维测试在内的数值实验表明，该方法在时间上与所采用的时间推进公式一样准确，在空间上与有限元离散化一样准确，而且通常更准确——尤其是在质量守恒误差方面– 并且比经典的非保守拉格朗日-伽辽金方法更有效。据我们所知，这是第一个对以对流为主的方程的保守拉格朗日-伽辽金方法，它同时考虑了无发散的速度场和任何阶的时间和空间离散化。包括三维测试在内的数值实验表明，该方法在时间上与所采用的时间推进公式一样准确，在空间上与有限元离散化一样准确，而且通常更准确——尤其是在质量守恒误差方面– 并且比经典的非保守拉格朗日-伽辽金方法更有效。据我们所知，这是第一个对以对流为主的方程的保守拉格朗日-伽辽金方法，它同时考虑了无发散的速度场和任何阶的时间和空间离散化。包括三维测试在内的数值实验表明，该方法在时间上与所采用的时间推进公式一样准确，在空间上与有限元离散化一样准确，而且通常更准确——尤其是在质量守恒误差方面– 并且比经典的非保守拉格朗日-伽辽金方法更有效。据我们所知，这是第一个对以对流为主的方程的保守拉格朗日-伽辽金方法，它同时考虑了无发散的速度场和任何阶的时间和空间离散化。非保守拉格朗日-伽辽金法。据我们所知，这是第一个对以对流为主的方程的保守拉格朗日-伽辽金方法，它同时考虑了无发散的速度场和任何阶的时间和空间离散化。非保守拉格朗日-伽辽金法。据我们所知，这是第一个对以对流为主的方程的保守拉格朗日-伽辽金方法，它同时考虑了无发散的速度场和任何阶的时间和空间离散化。