In this paper, we focus on computing the higher slope Hasse polynomials of L-functions of certain exponential sums associated to the following family of Laurent polynomials $f(x_1,\dots ,x_{n+1})={\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_{n+1}(x_i+\frac{1}{x_i})+a_{n+1}{x}_{n+1}+\frac{1}{x_{n+1}}$, where $a_i\in {\mathbb{F}}_q^{⁎}$, $i=1,2,\dots ,n+1$. We find a simple formula for the Hasse polynomial of the slope one side and study the irreducibility of these Hasse polynomials. We will also provide a simple form of all the higher slope Hasse polynomials for $n=3$, answering an open question of Zhang and Feng.

中文翻译：

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某些指数和的L函数的Hasse多项式

在本文中，我们着重于计算与以下Laurent多项式族相关的某些指数和的L函数的高斜率Hasse多项式 $F（X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{ñ+\mathrm{1个}}）={\sum }_{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{ñ}{\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}}{X}_{ñ+\mathrm{1个}}（X_{\mathrm{一世}}+\frac{\mathrm{1个}}{X_{\mathrm{一世}}}）+{\mathrm{一种}}_{ñ+\mathrm{1个}}{X}_{ñ+\mathrm{1个}}+\frac{\mathrm{1个}}{X_{ñ+\mathrm{1个}}}$，在哪里 ${\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}}\in {\mathbb{F}}_q^{⁎}$， $\mathrm{一世}=\mathrm{1个}，2，\dots ，ñ+\mathrm{1个}$。我们为边坡的Hasse多项式找到一个简单的公式，并研究这些Hasse多项式的不可约性。我们还将为所有更高斜率的Hasse多项式提供简单形式$ñ=3$，回答张和冯的公开问题。