Let $\Omega \subset \mathbb {R}^N$ , $N\geq 2$ , be an open bounded connected set. We consider the fractional weighted eigenvalue problem $(-\Delta )^s u =\lambda \rho u$ in $\Omega $ with homogeneous Dirichlet boundary condition, where $(-\Delta )^s$ , $s\in (0,1)$ , is the fractional Laplacian operator, $\lambda \in \mathbb {R}$ and $ \rho \in L^\infty (\Omega )$ .

We study weak* continuity, convexity and Gâteaux differentiability of the map $\rho \mapsto 1/\lambda _1(\rho )$ , where $\lambda _1(\rho )$ is the first positive eigenvalue. Moreover, denoting by $\mathcal {G}(\rho _0)$ the class of rearrangements of $\rho _0$ , we prove the existence of a minimizer of $\lambda _1(\rho )$ when $\rho $ varies on $\mathcal {G}(\rho _0)$ . Finally, we show that, if $\Omega $ is Steiner symmetric, then every minimizer shares the same symmetry.

令 $\Omega \subset \mathbb {R}^N$ , $N\geq 2$ 是一个开有界连通集。我们认为分数加权特征值问题 $（ - \三角洲）^苏= \拉姆达\ RHO U $ 在 $ \欧米茄$ 齐次Dirichlet边界条件，其中 $（ - \三角洲），2S $ ， $ S \在（0 ,1)$ ，是分数拉普拉斯算子， $\lambda \in \mathbb {R}$ 和 $ \rho \in L^\infty (\Omega )$ 。

我们研究了映射 $\rho \mapsto 1/\lambda _1(\rho )$ 的 弱*连续性、凸性和 Gâteaux 可微性 ，其中 $\lambda _1(\rho )$ 是第一个正特征值。此外，用 $\mathcal {G}(\rho _0)$ 表示 $\rho _0$ 的重排类别 ，我们证明当 $\rho $ 变化时 存在 $\lambda _1(\rho )$ 的极小值 在 $\mathcal {G}(\rho _0)$ 上 。最后，我们证明，如果 $\Omega $ 是 Steiner 对称的，那么每个极小值都具有相同的对称性。