In this paper, we prove the existence of non-radial solutions to the problem $-△u=\mathit{f}(z,u)$, $u{|}_{\partial D}=0$ on the unit disc $D≔\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\}$ with $u\left(z\right)\in {\mathbb{R}}^k$, where $\mathit{f}$ is a sub-linear continuous function, differentiable with respect to $u$ at zero and satisfying $\mathit{f}(e^{i\theta }z,u)=\mathit{f}(z,u)$ for all $\theta \in \mathbb{R}$, $\mathit{f}(z,-u)=-\mathit{f}(z,u)$. Under the assumption that $\mathit{f}$ respects additional (spacial) symmetries on ${\mathbb{R}}^k$, we investigate symmetric properties of the corresponding non-radial solutions. The abstract result is supported by a numerical example with $S_4$-symmetry.

中文翻译：

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圆盘上耦合半线性椭圆系统的非径向解的模式

在本文中，我们证明了该问题的非径向解的存在 $-△ü=\mathit{F}（ž，ü）$， $ü{|}_{\partial d}=0$ 在单元光盘上 $d≔\{ž\in ℂ：\left|ž\right|<\mathrm{1个}\}$ 与 $ü（ž）\in {\mathbb{[R}}^{ķ}$，在哪里 $\mathit{F}$ 是一个亚线性连续函数，相对于 $ü$ 零且令人满意 $\mathit{F}（{Ë}^{\mathrm{一世}\theta }ž，ü）=\mathit{F}（ž，ü）$ 对所有人 $\theta \in \mathbb{[R}$， $\mathit{F}（ž，-ü）=-\mathit{F}（ž，ü）$。假设$\mathit{F}$ 尊重上的其他（空间）对称性 ${\mathbb{[R}}^{ķ}$，我们研究了相应的非径向解的对称性质。一个数字示例支持抽象结果${\mathrm{小号}}_4$-对称。