In this note we present variants of Kostov’s theorem on a versal deformation of a parabolic point of a complex analytic 1-dimensional vector field. First we provide a self-contained proof of Kostov’s theorem, together with a proof that this versal deformation is indeed universal. We then generalize to the real analytic and formal cases, where we show universality, and to the \({\mathcal {C}}^\infty \) case, where we show that only versality is possible.

中文翻译：

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关于矢量场在一个变量中的普遍展开：Kostov定理的证明

在本注释中，我们介绍了复杂的1维矢量场的抛物线点的横向变形的Kostov定理的变体。首先，我们提供了科斯托夫定理的独立证明，以及这种横向变形确实是普遍的证明。然后，我们泛化到证明通用性的真实解析和形式案例，以及泛化到仅显示通用性的\（{\ mathcal {C}} ^ \ infty \）案例。