In this paper, we investigate a generalization of the Bessenrodt–Ono inequality by following Gian–Carlo Rota’s advice in studying problems in combinatorics and number theory in terms of roots of polynomials. We consider the number of k-colored partitions of n as special values of polynomials \(P_n(x)\). We prove for all real numbers \(x >2 \) and \(a,b \in \mathbb {N}\) with \(a+b >2\) the inequality:

We show that \(P_n(x) < P_{n+1}(x)\) for \(x \ge 1\), which generalizes \(p(n) < p(n+1)\), where p(n) denotes the partition function. Finally, we observe for small values, the opposite can be true, since, for example: \(P_2(-3+ \sqrt{10}) = P_{3}(-3 + \sqrt{10})\).

在本文中，我们遵循吉安·卡洛·罗塔（Gian-Carlo Rota）的建议，以多项式根为基础研究组合论和数论问题，从而研究了贝森罗德-奥诺不等式的推广。我们将n的k个彩色分区的数量视为多项式\（P_n（x）\）的特殊值。我们证明所有实数\（x> 2 \）和\（a，b \ in \ mathbb {N} \）中的\（a + b> 2 \）不等式：

我们表明，\（P_N（X）<P_ {N + 1}（x）的\）为\（X \ GE 1 \） ，从而推广\（P（N）<P（N + 1）\） ，其中p（n）表示分区函数。最后，对于较小的值，我们可以观察到相反的情况，因为，例如：\（P_2（-3+ \ sqrt {10}）= P_ {3}（-3 + \ sqrt {10}）\）。