We continue the study of the regularizing effect of the interaction between the coefficient of the zero order term and the datum in the semilinear Dirichlet problem $u\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right):-\mathrm{div}(M\left(x\right)\nabla u)+a\left(x\right)g\left(u\right)=f\left(x\right),$where $\Omega$ is a bounded open set of ${\mathbb{R}}^N$, $M$ is a bounded elliptic matrix, $0\le a\left(x\right)\in L^1\left(\Omega \right)$ and $g$ is a continuous odd increasing function. Even if $f\left(x\right)$ only belongs to $L^1\left(\Omega \right)$, the assumption $thereexistsQ\in (0,\underset{s\to \infty }{lim}g\left(s\right))suchthat\left|f\left(x\right)\right|\le Qa\left(x\right)$implies the existence of a weak solution $u$ belonging to $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ and to $L^{\infty }\left(\Omega \right)$. Moreover, such a solution $u$ is strictly positive in $\Omega$ (strong maximum principle).

In addition, we prove also existence and a weak maximum principle for the Dirichlet problem associated to Hamilton–Jacobi equation $u\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right):-\mathrm{div}(M\left(x\right)\nabla u)+E\left(x\right)\cdot \nabla u{|\nabla u|}^{q-1}+a\left(x\right)u=f\left(x\right),$where $thereexistsQ\in {\mathbb{R}}^{+}suchthat\left|f\left(x\right)\right|\le Qa\left(x\right),$and $1<q<2,E\in {\left(L^r\left(\Omega \right)\right)}^N,r=\frac{2}{2-q}.$

我们继续研究半线性Dirichlet问题中零阶项的系数与基准之间的相互作用的正则化效应 $ü\in {\mathrm{w\; ^}}_0^{\mathrm{1个}，2}（\Omega ）：-\mathrm{div}（\mathrm{中号}（X）\nabla ü）+\mathrm{一种}（X）G（ü）=F（X），$哪里 $\Omega$ 是一个有界开放集 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$， $\mathrm{中号}$ 是有界椭圆矩阵， $0\le \mathrm{一种}（X）\in {\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（\Omega ）$ 和 $G$是连续的奇数递增函数。即使$F（X）$ 只属于 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（\Omega ）$， 假设 $ŤHË\mathrm{[R}ËËX\mathrm{一世}sŤs问\in （0，\underset{s\to \infty }{林}G（s））süCHŤH\mathrm{一种}Ť\left|F（X）\right|\le 问\mathrm{一种}（X）$意味着存在一个弱解 $ü$ 属于 ${\mathrm{w\; ^}}_0^{\mathrm{1个}，2}（\Omega ）$ 并 ${\mathrm{大号}}^{\infty }（\Omega ）$。而且，这样的解决方案$ü$ 严格肯定是 $\Omega$（强大的最大原则）。

此外，我们证明了与汉密尔顿-雅各比方程有关的狄利克雷问题的存在性和弱最大原理$ü\in {\mathrm{w\; ^}}_0^{\mathrm{1个}，2}（\Omega ）：-\mathrm{div}（\mathrm{中号}（X）\nabla ü）+Ë（X）\cdot \nabla ü{|\nabla ü|}^{q-\mathrm{1个}}+\mathrm{一种}（X）ü=F（X），$哪里 $ŤHË\mathrm{[R}ËËX\mathrm{一世}sŤs问\in {\mathbb{[R}}^{+}süCHŤH\mathrm{一种}Ť\left|F（X）\right|\le 问\mathrm{一种}（X），$和 $\mathrm{1个}<q<2，Ë\in {（{\mathrm{大号}}^{\mathrm{[R}}（\Omega ））}^{ñ}，\mathrm{[R}=\frac{2}{2-q}。$