An old and new approach to Goormaghtigh’s equation,Transactions of the American Mathematical Society

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An old and new approach to Goormaghtigh’s equation
Transactions of the American Mathematical Society ( IF 1.2 ) Pub Date : 2020-05-26 , DOI: 10.1090/tran/8103
Michael A. Bennett , Adela Gherga , Dijana Kreso

Abstract:We show that if $n \geq 3$ is a fixed integer, then there exists an effectively computable constant

such that if

, and

are integers satisfying

$\displaystyle \frac {x^m-1}{x-1} = \frac {y^n-1}{y-1}, \; \; y>x>1, \; m > n,$

with $\gcd (m-1,n-1)>1$ , then $\max \{ x, y, m \} < c (n)$ . In case $n \in \{ 3, 4, 5 \}$ , we solve the equation completely, subject to this non-coprimality condition. In case

, our resulting computations require a variety of innovations for solving Ramanujan-Nagell equations of the shape

, where

is a given polynomial with integer coefficients (and degree at least two), and

is a fixed integer.

中文翻译：

Goormaghtigh方程的新旧方法

摘要：我们发现，如果 $n \ geq 3$ 是一个固定的整数，则存在一个有效的可计算的常数

，例如，如果

，

和

为整数满足

$\ displaystyle \ frac {x ^ m-1} {x-1} = \ frac {y ^ n-1} {y-1}，\; \; y> x> 1，\; m> n，$

用，然后。在这种情况下，在此非互素条件下，我们可以完全求解方程。在这种情况下，我们得出的计算结果需要多种创新来求解形状为Ramanujan-Nagell的方程，其中，是给定的具有整数系数（且度数至少为2）的多项式，并且是固定整数。 $\ gcd（m-1，n-1）> 1$ $\ max \ {x，y，m \} <c（n）$ $n \ in \ {3，4，5 \}$

更新日期：2020-05-26

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