In this paper, we develop a new discontinuous Galerkin method for solving several types of partial differential equations (PDEs) with high order spatial derivatives. We combine the advantages of local discontinuous Galerkin (LDG) method and ultra-weak discontinuous Galerkin (UWDG) method. Firstly, we rewrite the PDEs with high order spatial derivatives into a lower order system, then apply the UWDG method to the system. We first consider the fourth order and fifth order nonlinear PDEs in one space dimension, and then extend our method to general high order problems and two space dimensions. The main advantage of our method over the LDG method is that we have introduced fewer auxiliary variables, thereby reducing memory and computational costs. The main advantage of our method over the UWDG method is that no internal penalty terms are necessary in order to ensure stability for both even and odd order PDEs. We prove stability of our method in the general nonlinear case and provide optimal error estimates for linear PDEs for the solution itself as well as for the auxiliary variables approximating its derivatives. A key ingredient in the proof of the error estimates is the construction of the relationship between the derivative and the element interface jump of the numerical solution and the auxiliary variable solution of the solution derivative. With this relationship, we can then use the discrete Sobolev and Poincare inequalities to obtain the optimal error estimates. The theoretical findings are confirmed by numerical experiments.

中文翻译：

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具有高阶空间导数的偏微分方程的超弱局部不连续伽辽金方法

在本文中，我们开发了一种新的不连续 Galerkin 方法，用于求解具有高阶空间导数的几种类型的偏微分方程 (PDE)。我们结合了局部不连续伽辽金（LDG）方法和超弱不连续伽辽金（UWDG）方法的优点。首先，我们将具有高阶空间导数的偏微分方程改写为低阶系统，然后将 UWDG 方法应用于该系统。我们首先考虑一维空间中的四阶和五阶非线性偏微分方程，然后将我们的方法扩展到一般高阶问题和二维空间。我们的方法相对于 LDG 方法的主要优点是我们引入了更少的辅助变量，从而减少了内存和计算成本。我们的方法相对于 UWDG 方法的主要优点是不需要内部惩罚项来确保偶数和奇数阶 PDE 的稳定性。我们证明了我们的方法在一般非线性情况下的稳定性，并为解本身以及近似其导数的辅助变量提供了线性偏微分方程的最佳误差估计。证明误差估计的一个关键因素是建立导数与数值解的单元界面跳跃和解导数的辅助变量解之间的关系。有了这种关系，我们就可以使用离散的 Sobolev 和 Poincare 不等式来获得最佳误差估计。数值实验证实了理论发现。我们证明了我们的方法在一般非线性情况下的稳定性，并为解本身以及近似其导数的辅助变量提供了线性偏微分方程的最佳误差估计。证明误差估计的一个关键因素是建立导数与数值解的单元界面跳跃和解导数的辅助变量解之间的关系。有了这种关系，我们就可以使用离散的 Sobolev 和 Poincare 不等式来获得最佳误差估计。数值实验证实了理论发现。我们证明了我们的方法在一般非线性情况下的稳定性，并为解本身以及近似其导数的辅助变量提供了线性偏微分方程的最佳误差估计。证明误差估计的一个关键因素是建立导数与数值解的单元界面跳跃和解导数的辅助变量解之间的关系。有了这种关系，我们就可以使用离散的 Sobolev 和 Poincare 不等式来获得最佳误差估计。数值实验证实了理论发现。证明误差估计的一个关键因素是建立导数与数值解的单元界面跳跃和解导数的辅助变量解之间的关系。有了这种关系，我们就可以使用离散的 Sobolev 和 Poincare 不等式来获得最佳误差估计。数值实验证实了理论发现。证明误差估计的一个关键因素是建立导数与数值解的单元界面跳跃和解导数的辅助变量解之间的关系。有了这种关系，我们就可以使用离散的 Sobolev 和 Poincare 不等式来获得最佳误差估计。数值实验证实了理论发现。