Motivated by the inequality $\|f+g\|_{2}^{2} \leq \|f\|_{2}^{2}+2\|fg\|_{1}+\|g\|^{2}_{2}$, Carbery (2006) raised the question what is the "right" analogue of this estimate in $L^{p}$ for $p \neq 2$. Carlen, Frank, Ivanisvili and Lieb (2018) recently obtained an $L^{p}$ version of this inequality by providing upper bounds for $\|f+g\|_{p}^{p}$ in terms of the quantities $\|f\|_{p}^{p}, \|g\|_{p}^{p}$ and $\|fg\|_{p/2}^{p/2}$ when $p \in(0,1] \cup [2,\infty)$, and lower bounds when $p \in (-\infty,0) \cup (1,2)$, thereby proving (and improving) the suggested possible inequalities of Carbery. We continue investigation in this direction by refining the estimates of Carlen, Frank, Ivanisvili and Lieb. We obtain upper bounds for $\|f + g\|_p^p$ also when $p \in (-\infty,0) \cup (1,2)$ and lower bounds when $p \in (0,1] \cup [2,\infty)$. For $p \in [1,2]$ we extend our upper bounds to any finite number of functions. In addition, we show that all our upper and lower bounds of $\|f+g\|_{p}^{p}$ for $p \in \mathbb{R}$, $p\neq 0$, are the best possible in terms of the quantities $\|f\|_{p}^{p}, \|g\|_{p}^{p}$ and $\|fg\|_{p/2}^{p/2}$, and we characterize the equality cases.

中文翻译：

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锐化三角不等式：L2 和 Lp 空间之间的包络

由不等式 $\|f+g\|_{2}^{2} \leq \|f\|_{2}^{2}+2\|fg\|_{1}+\|g \|^{2}_{2}$, Carbery (2006) 提出了这样一个问题，即 $L^{p}$ 中 $p \neq 2$ 中该估计的“正确”类似物是什么。Carlen、Frank、Ivanisvili 和 Lieb（2018）最近通过提供 $\|f+g\|_{p}^{p}$ 的上限，获得了这个不等式的 $L^{p}$ 版本数量 $\|f\|_{p}^{p}, \|g\|_{p}^{p}$ 和 $\|fg\|_{p/2}^{p/2}$当 $p \in(0,1] \cup [2,\infty)$，当 $p \in (-\infty,0) \cup (1,2)$ 时下界，从而证明（并改进） Carbery 可能存在的不等式。我们通过改进 Carlen、Frank、Ivanisvili 和 Lieb 的估计，继续朝这个方向进行调查。当 $p \in (-\infty,0) \cup (1,2)$ 时，我们也获得 $\|f + g\|_p^p$ 的上限和 $p \in (0,1 ] \cup [2,\infty)$。对于 $p \in [1,2]$，我们将上限扩展到任何有限数量的函数。此外，我们证明了 $p \in \mathbb{R}$, $p\neq 0$ 的所有 $\|f+g\|_{p}^{p}$ 的上下界是最好的数量是 $\|f\|_{p}^{p}, \|g\|_{p}^{p}$ 和 $\|fg\|_{p/2} ^{p/2}$，我们描述了相等的情况。