We compare the sets of homotopy classes of gradient and proper gradient vector fields in the plane. Namely, we show that gradient and proper gradient homotopy classifications are essentially different. We provide a complete description of the sets of homotopy classes of gradient maps from $\mathbb{R}^n$ to $\mathbb{R}^n$ and proper gradient maps from $\mathbb{R}^2$ to $\mathbb{R}^2$ with the Brouwer degree greater or equal to zero.

中文翻译：

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梯度与适当的梯度同伦

我们比较平面中梯度的同伦类集和适当的梯度向量场。也就是说，我们表明梯度和适当的梯度同伦分类本质上是不同的。我们提供了从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的梯度映射的同伦类集以及从 $\mathbb{R}^2$ 到 $ 的适当梯度映射的完整描述\mathbb{R}^2$ 的 Brouwer 度数大于或等于 0。