We prove a matrix discrepancy bound that strengthens the famous Kadison-Singer result of Marcus, Spielman, and Srivastava. Consider any independent scalar random variables $\xi_1, \ldots, \xi_n$ with finite support, e.g. $\{ \pm 1 \}$ or $\{ 0,1 \}$-valued random variables, or some combination thereof. Let $u_1, \dots, u_n \in \mathbb{C}^m$ and $$ \sigma^2 = \left\| \sum_{i=1}^n \text{Var}[ \xi_i ] (u_i u_i^{*})^2 \right\|. $$ Then there exists a choice of outcomes $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ in the support of $\xi_1, \ldots, \xi_n$ s.t. $$ \left \|\sum_{i=1}^n \mathbb{E} [ \xi_i] u_i u_i^* - \sum_{i=1}^n \varepsilon_i u_i u_i^* \right \| \leq 4 \sigma. $$ A simple consequence of our result is an improvement of a Lyapunov-type theorem of Akemann and Weaver.

中文翻译：

---

对于秩 1 矩阵，四个偏差就足够了

我们证明了一个矩阵差异界限，它加强了 Marcus、Spielman 和 Srivastava 著名的 Kadison-Singer 结果。考虑任何具有有限支持的独立标量随机变量 $\xi_1、\ldots、\xi_n$，例如 $\{ \pm 1 \}$ 或 $\{ 0,1 \}$ 值随机变量，或它们的某种组合。让 $u_1, \dots, u_n \in \mathbb{C}^m$ 和 $$ \sigma^2 = \left\| \sum_{i=1}^n \text{Var}[ \xi_i ] (u_i u_i^{*})^2 \right\|。$$ 那么在 $\xi_1, \ldots, \xi_n$ st $$ \left \|\sum_{i=1}^n \ 的支持下，存在一个结果选择 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ mathbb{E} [ \xi_i] u_i u_i^* - \sum_{i=1}^n \varepsilon_i u_i u_i^* \right \| \leq 4 \西格玛。$$ 我们的结果的一个简单结果是对 Akemann 和 Weaver 的李雅普诺夫型定理的改进。