We study the space \({{\,\mathrm{Hol}\,}}_d(\mathbb {CP}^m,\mathbb {CP}^n)\) of degree d algebraic maps \(\mathbb {CP}^m \rightarrow \mathbb {CP}^n\), from the point of view of homological stability as discovered by Segal (Acta Math 143(1–2):39–72, 1979) and later explored by Mostovoy (Topol Appl 45(2):281–293, 2006), Cohen et al. (Acta Math 166:163–221, 1991), Farb and Wolfson (N Y J Math 22:801–821, 2015), and others. In particular, we calculate the \(\mathbb {Q}\)-cohomology ring explicitly in the case \(m=1\), as computed by Kallel and Salvatore (Geom Topol 10:1579–1606, 2006), and stably for when \(m>1\). In doing so, we expand a method, previously studied by Crawford (J Differ Geom 38:161–189, 1993), for analyzing spaces of maps \(X \rightarrow \mathbb {CP}^n\) by introducing subvarieties of non-degenerate functions that approximate the desired cohomologies both integrally and rationally in different ways. We also prove, when \(m=n\), that the orbit space \({{\,\mathrm{Rat}\,}}_d(\mathbb {CP}^m,\mathbb {CP}^m)/{{\,\mathrm{PGL}\,}}_{m+1}(\mathbb {C})\) under the action on the target is \(\mathbb {Q}\)-acyclic up through dimension \(d-2\), partially generalizing a calculation of Milgram (Topology 36(5):1155–1192, 1997).

中文翻译：

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复投影空间之间非退化映射的空间

我们研究度d代数映射\（\ mathbb {CP的空间\（{{\，\ mathrm {Hol} \，}} _ d（\ mathbb {CP} ^ m，\ mathbb {CP} ^ n）\）的空间} ^ m \ rightarrow \ mathbb {CP} ^ n \），从同源性的角度出发，如Segal（Acta Math 143（1-2）：39-72，1979）发现，后来又由Mostovoy（Topol）探索Appl 45（2）：281-293，2006），Cohen等。（Acta Math 166：163–221，1991），Farb and Wolfson（NYJ Math 22：801–821，2015）等。特别是，我们根据Kallel和Salvatore（Geom Topol 10：1579-1606，2006）的计算，在\（m = 1 \）情况下显式计算了\（\ mathbb {Q} \）-同调环。对于\（m> 1 \）。为此，我们扩展了一种方法，该方法以前由Crawford研究（J Differ Geom 38：161–189，1993），通过引入non的子变量来分析地图\（X \ rightarrow \ mathbb {CP} ^ n \）的空间。 -退化的函数，以不同的方式整体和合理地逼近所需的同构。当\（m = n \）时，我们还证明了轨道空间\（{{\，\ mathrm {Rat} \，}} _ d（\ mathbb {CP} ^ m，\ mathbb {CP} ^ m） / {{\，\ mathrm {PGL} \，}} _ {m + 1}（\ mathbb {C}）\）在目标上的作用是\（\ mathbb {Q} \） -在整个维度上都是非循环的\（d-2 \），部分概括了Milgram的计算（拓扑36（5）：1155–1192，1997）。