Let G be a finite soluble group and $$G^{(k)}$$ G ( k ) the k th term of the derived series of G . We prove that $$G^{(k)}$$ G ( k ) is nilpotent if and only if $$|ab|=|a||b|$$ | a b | = | a | | b | for any $$\delta _k$$ δ k -values $$a,b\in G$$ a , b ∈ G of coprime orders. In the course of the proof, we establish the following result of independent interest: let P be a Sylow p -subgroup of G . Then $$P\cap G^{(k)}$$ P ∩ G ( k ) is generated by $$\delta _k$$ δ k -values contained in P (Lemma 2.5 ). This is related to the so-called focal subgroup theorem.

中文翻译：

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关于有限可溶群的高交换子子群的幂零性

设 G 是一个有限可溶群，$$G^{(k)}$$G ( k ) 是 G 的导出级数的第 k 项。我们证明 $$G^{(k)}$$ G ( k ) 是幂零当且仅当 $$|ab|=|a||b|$$ | AB | = | | | 乙 | 对于任何 $$\delta _k$$ δ k -values $$a,b\in G$$ a , b ∈ G 的互质阶数。在证明过程中，我们建立以下独立兴趣的结果：设 P 是 G 的 Sylow p -子群。然后 $$P\cap G^{(k)}$$ P ∩ G ( k ) 由包含在 P 中的 $$\delta _k$$ δ k 值生成（引理 2.5 ）。这与所谓的焦点子群定理有关。