For a unital ring $R$, a Sylvester rank function is a numerical invariant which can be described in three equivalent ways: on finitely presented left $R$‐modules, or on rectangular matrices over $R$, or on maps between finitely generated projective left $R$‐modules. We extend each Sylvester rank function to all pairs of left $R$‐modules ${\mathcal{M}}_1\subseteq {\mathcal{M}}_2$, and to all maps between left $R$‐modules satisfying suitable properties including continuity and additivity.

中文翻译：

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双变量和扩展的Sylvester秩函数

对于一体式戒指 $\mathrm{[R}$，Sylvester秩函数是一个数值不变量，可以用三种等效的方式来描述：在有限表示的左侧 $\mathrm{[R}$模块或矩形矩阵 $\mathrm{[R}$，或在有限生成的投影左侧之间的地图上 $\mathrm{[R}$模块。我们将每个Sylvester等级函数扩展到所有左对$\mathrm{[R}$模组 ${\mathcal{中号}}_{\mathrm{1个}}\subseteq {\mathcal{中号}}_2$，以及左侧之间的所有地图 $\mathrm{[R}$满足连续性和加性等合适特性的模块。