More and more analyses of biological shapes are using the techniques of geometric morphometrics based on configurations of landmarks in two or three dimensions. A fundamental concept at the core of these analyses is Kendall’s shape space and local approximations to it by shape tangent spaces. Kendall’s shape space is complex because it is a curved surface and, for configurations with more than three landmarks, multidimensional. This paper uses the shape space for triangles, which is the surface of a sphere, to explore and visualize some properties of shape spaces and the respective tangent spaces. Considerations about the dimensionality of shape spaces are an important step in understanding them, and can offer a coordinate system that can translate between positions in the shape space and the corresponding landmark configurations and vice versa. By simulation studies “walking” along that are great circles around the shape space, each of them corresponding to the repeated application of a particular shape change, it is possible to grasp intuitively why shape spaces are curved and closed surfaces. From these considerations and the available information on shape spaces for configurations with more than three landmarks, the conclusion emerges that the approach using a tangent space approximation in general is valid for biological datasets. The quality of approximation depends on the scale of variation in the data, but existing analyses suggest this should be satisfactory to excellent in most empirical datasets.

越来越多的生物形状分析正在使用基于二维或三维地标配置的几何形态计量学技术。这些分析的核心基本概念是肯德尔的形状空间和形状切线空间对其的局部近似。肯德尔的形状空间很复杂，因为它是曲面，并且对于具有三个以上地标的配置，它是多维的。本文使用三角形的形状空间（即球体的表面）来探索和可视化形状空间以及相应切线空间的某些属性。有关形状空间维数的考虑是理解它们的重要步骤，并且可以提供一个坐标系统，该坐标系统可以在形状空间中的位置与相应的界标配置之间进行转换，反之亦然。通过模拟研究，沿着形状空间周围的大圆圈“行走”，每个圆圈对应于特定形状变化的重复应用，可以直观地理解形状空间为何是弯曲和封闭的表面。从这些考虑因素以及具有三个以上地标的配置的形状空间可用信息中，得出的结论是，通常使用切线空间近似的方法对于生物学数据集有效。近似的质量取决于数据的变化范围，但是现有分析表明，在大多数经验数据集中，这应该令人满意。可以直观地理解为什么形状空间是弯曲的和封闭的表面。从这些考虑因素以及具有三个以上地标的配置的形状空间可用信息中，得出的结论是，通常使用切线空间近似的方法对于生物学数据集有效。近似的质量取决于数据的变化范围，但是现有分析表明，在大多数经验数据集中，这应该令人满意。可以直观地理解为什么形状空间是弯曲的和封闭的表面。从这些考虑因素以及具有三个以上地标的配置的形状空间可用信息中，得出的结论是，通常使用切线空间近似的方法对于生物学数据集有效。近似的质量取决于数据的变化范围，但是现有分析表明，在大多数经验数据集中，这应该令人满意。