The Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations and the Large-Eddy Simulation equations can be coupled using a transition function to switch from a set of equations applied in some areas of a domain to the other set in the other part of the domain. Following this idea, different time integration schemes can be coupled. In this context, we developed a hybrid time integration scheme that spatially couples the explicit scheme of Heun and the implicit scheme of Crank and Nicolson using a dedicated transition function. This scheme is linearly stable and second-order accurate. In this paper, an extension of this hybrid scheme is introduced to deal with a temporal adaptive procedure. The idea is to treat the time integration procedure with unstructured grids as it is performed with Cartesian grids with local mesh refinement. Depending on its characteristic size, each mesh cell is assigned a rank. And for two cells from two consecutive ranks, the ratio of the associated time steps for time marching the solutions is $2$. As a consequence, the cells with the lowest rank iterate more than the other ones to reach the same physical time. In a finite-volume context, a key ingredient is to keep the conservation property for the interfaces that separate two cells of different ranks. After introducing the different schemes, the paper recalls briefly the coupling procedure, and details the extension to the temporal adaptive procedure. The new time integration scheme is validated with the propagation of 1D wave packet, the Sod's tube, and the transport of a bi-dimensional vortex in an uniform flow.

中文翻译：

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显式时间自适应积分方案与隐式时间积分方案空间耦合的数学分析

Reynolds-Averaged Navier-Stokes 方程和大涡模拟方程可以使用转换函数耦合，以从域的某些区域中应用的一组方程切换到域其他部分中的另一组方程。按照这个想法，可以耦合不同的时间积分方案。在这种情况下，我们开发了一种混合时间积分方案，该方案使用专用转换函数在空间上耦合 Heun 的显式方案和 Crank 和 Nicolson 的隐式方案。该方案线性稳定且二阶准确。在本文中，引入了这种混合方案的扩展来处理时间自适应过程。这个想法是用非结构化网格来处理时间积分过程，因为它是用具有局部网格细化的笛卡尔网格来执行的。根据其特征尺寸，每个网格单元被分配一个等级。对于来自两个连续等级的两个单元格，用于时间推进解决方案的相关时间步长的比率为 $2$。因此，具有最低等级的单元比其他单元迭代更多以达到相同的物理时间。在有限体积的环境中，一个关键因素是保持分离不同等级的两个单元格的界面的守恒特性。在介绍了不同的方案之后，本文简要回顾了耦合过程，并详细介绍了对时间自适应过程的扩展。新的时间积分方案通过一维波包的传播、Sod 管和二维涡流在均匀流中的传输进行了验证。对于来自两个连续等级的两个单元格，用于时间推进解决方案的相关时间步长的比率为 $2$。因此，具有最低等级的单元比其他单元迭代更多以达到相同的物理时间。在有限体积的环境中，一个关键因素是保持分离不同等级的两个单元格的界面的守恒特性。在介绍了不同的方案之后，本文简要回顾了耦合过程，并详细介绍了对时间自适应过程的扩展。新的时间积分方案通过一维波包的传播、Sod 管和二维涡流在均匀流中的传输进行了验证。对于来自两个连续等级的两个单元格，用于时间推进解决方案的相关时间步长的比率为 $2$。因此，具有最低等级的单元比其他单元迭代更多以达到相同的物理时间。在有限体积的环境中，一个关键因素是保持分离不同等级的两个单元格的界面的守恒特性。在介绍了不同的方案之后，本文简要回顾了耦合过程，并详细介绍了对时间自适应过程的扩展。新的时间积分方案通过一维波包的传播、Sod 管和二维涡流在均匀流中的传输进行了验证。具有最低等级的单元比其他单元迭代更多以达到相同的物理时间。在有限体积的环境中，一个关键因素是保持分离不同等级的两个单元格的界面的守恒特性。在介绍了不同的方案之后，本文简要回顾了耦合过程，并详细介绍了对时间自适应过程的扩展。新的时间积分方案通过一维波包的传播、Sod 管和二维涡流在均匀流中的传输进行了验证。具有最低等级的单元比其他单元迭代更多以达到相同的物理时间。在有限体积的环境中，一个关键因素是保持分离不同等级的两个单元格的界面的守恒特性。在介绍了不同的方案之后，本文简要回顾了耦合过程，并详细介绍了对时间自适应过程的扩展。新的时间积分方案通过一维波包的传播、Sod 管和二维涡流在均匀流中的传输进行了验证。并详细介绍了时间自适应程序的扩展。新的时间积分方案通过一维波包的传播、Sod 管和二维涡流在均匀流中的传输进行了验证。并详细介绍了时间自适应程序的扩展。新的时间积分方案通过一维波包的传播、Sod 管和二维涡流在均匀流中的传输进行了验证。