Let $N^{0}(m,n)$ be the number of odd Durfee symbols of $n$ with odd rank $m$, and $N^{0}(a,M;n)$ be the number of odd Durfee symbols of $n$ with odd rank congruent to $a$ modulo $M$. We show that the odd rank can be expressed as a linear sum of ordinary ranks. We also give explicit formulas for the generating functions of $N^{0}(a,M;n)$ and their $\ell$-dissections where $0\le a \le M-1$ and $M, \ell \in \{2, 4, 8\}$. From these formulas, we obtain some interesting arithmetic properties of $N^{0}(a,M;n)$. Furthermore, let $\mathcal{D}_{k}^{0}(n)$ denote the number of $k$-marked odd Durfee symbols of $n$. Andrews conjectured that $\mathcal{D}_{2}^{0}(n)$ is even if $n\equiv 4$ or 6 (mod 8) and $\mathcal{D}_{3}^{0}(n)$ is even if $n\equiv 1, 9, 11$ or 13 (mod 16). Using our results on odd ranks, we prove Andrews' conjectures.

中文翻译：

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奇数秩和 k 标记奇数 Durfee 符号的算术性质

令 $N^{0}(m,n)$ 为 $n$ 的奇数 Durfee 符号的数量，其中 $N^{0}(a,M;n)$ 为$n$ 的奇数 Durfee 符号，奇数秩与 $a$ 模 $M$ 一致。我们证明奇数秩可以表示为普通秩的线性和。我们还给出了 $N^{0}(a,M;n)$ 的生成函数及其 $\ell$-dissections 的明确公式，其中 $0\le a \le M-1$ 和 $M, \ell \在 \{2, 4, 8\}$ 中。从这些公式中，我们获得了一些有趣的 $N^{0}(a,M;n)$ 算术性质。此外，让 $\mathcal{D}_{k}^{0}(n)$ 表示 $n$ 的以 $k$ 标记的奇数 Durfee 符号的数量。安德鲁斯推测 $\mathcal{D}_{2}^{0}(n)$ 是即使 $n\equiv 4$ 或 6 (mod 8) 和 $\mathcal{D}_{3}^{0 }(n)$ 是即使 $n\equiv 1, 9, 11$ 或 13 (mod 16)。使用我们在奇数秩上的结果，我们证明了安德鲁斯的猜想。