Let X be an irreducible complex affine variety of dimension greater than one and let $$f:X \rightarrow \mathbb {C}^m$$ be a polynomial mapping. Let $${|}*{|}$$ be a semialgebraic norm on $$\mathbb {C}^m.$$ Then for R large enough the sets $$f^{-1}(B_R), f^{-1}(S_R), X{\setminus } f^{-1}(B_R)$$ are all connected, where $$B_R=\{ z\in \mathbb {C}^m : |z|\le R\}$$ and $$S_R=\{ z\in \mathbb {C}^m : |z| = R\}.$$ As an application we show that if F is a counterexample to the Jacobian Conjecture, then the non-properness set of F has a non-trivial link at infinity.

中文翻译：

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通过多项式映射在球体的原像上

设 X 是维数大于 1 的不可约复仿射变体，并设 $$f:X \rightarrow \mathbb {C}^m$$ 是多项式映射。令 $${|}*{|}$$ 是 $$\mathbb {C}^m.$$ 上的半代数范数然后对于足够大的 R 集合 $$f^{-1}(B_R), f^ {-1}(S_R), X{\setminus } f^{-1}(B_R)$$ 都是连通的，其中 $$B_R=\{ z\in \mathbb {C}^m : |z|\ le R\}$$ 和 $$S_R=\{ z\in \mathbb {C}^m : |z| = R\}.$$ 作为一个应用，我们证明如果 F 是雅可比猜想的反例，那么 F 的非性质集在无穷远处有一个非平凡的联系。