Let the self-similar measure [Formula: see text] be generated by an expanding real matrix [Formula: see text] and a digit set [Formula: see text] in space [Formula: see text]. In this paper, we only consider [Formula: see text] and the case [Formula: see text] is similar. We show that there exists an infinite orthogonal set of exponential functions in [Formula: see text] if and only if [Formula: see text] for some [Formula: see text] with [Formula: see text]. Furthermore, for the cases that [Formula: see text] does not admit any infinite orthogonal set of exponential functions, the exact cardinality of orthogonal exponential functions in [Formula: see text] is given.

中文翻译：

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一类平面自相似测度的非光谱性质

让自相似度量[公式：见文本]由扩展实矩阵[公式：见文本]和空间[公式：见文本]中的数字集[公式：见文本]生成。在本文中，我们只考虑[公式：见文本]和[公式：见文本]的情况类似。我们证明，当且仅当 [Formula: see text] 对于某些 [Formula: see text] 和 [Formula: see text] 时，在 [Formula: see text] 中存在无限正交的指数函数集。此外，对于 [公式：见文本] 不允许任何无限正交指数函数集的情况，给出了 [公式：见文本] 中正交指数函数的确切基数。