SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 34, Issue 3, Page 1769-1790, January 2020.
A well-studied geometric object in combinatorial optimization is the perfect matching polytope of a graph $G$---the convex hull of the incidence vectors of all perfect matchings of $G$. In any investigation concerning the perfect matching polytope, one may assume that $G$ is matching covered---that is, $G$ is a connected graph (of order at least two) and each edge of $G$ lies in some perfect matching. A graph $G$ is Birkhoff--von Neumann if its perfect matching polytope is characterized solely by nonnegativity and degree constraints. A result of Balas [North Holland Math. Stud., 59 (1981), pp. 1--13] implies that $G$ is Birkhoff--von Neumann if and only if $G$ does not contain a pair of vertex-disjoint odd cycles $(C_1,C_2)$ such that $G-V(C_1)-V(C_2)$ has a perfect matching. It follows immediately that the corresponding decision problem is in co-$\mathcal{NP}$. However, it is not known to be in $\mathcal{NP}$. The problem is in $\mathcal{P}$ if the input graph is planar---due to a result of Carvalho, Lucchesi, and Murty [J. Combin. Theory Ser. B, 92 (2004), pp. 319--324]. More recently, these authors, along with Kothari [SIAM J. Discrete Math., 32 (2018), pp. 1478--1504], have shown that this problem is equivalent to the seemingly unrelated problem of deciding whether a given graph is $\overline{C_6}$-free. The combinatorial diameter of a polytope is the diameter of its $1$-skeleton graph. A graph $G$ is PM-compact if the combinatorial diameter of its perfect matching polytope equals one. Independent results of Balinski and Russakoff [SIAM Rev., 16 (1974), pp. 516--525] and of Chvátal [J. Combin. Theory Ser. B, 18 (1975), pp. 138--154] imply that $G$ is PM-compact if and only if $G$ does not contain a pair of vertex-disjoint even cycles $(C_1,C_2)$ such that $G-V(C_1)-V(C_2)$ has a perfect matching. Once again the corresponding decision problem is in co-$\mathcal{NP}$, but it is not known to be in $\mathcal{NP}$. The problem is in $\mathcal{P}$ if the input graph is bipartite or is near-bipartite---due to a result of Wang et al. [Discrete Math., 313 (2013), pp. 772--783]. In this paper, we consider the “intersection” of the aforementioned problems. We give an alternative description of matching covered graphs that are Birkhoff--von Neumann as well as PM-compact; our description implies that the corresponding decision problem is in $\mathcal{P}$.

中文翻译：

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PM紧凑的Birkhoff-von Neumann图

SIAM离散数学杂志，第34卷，第3期，第1769-1790页，2020年1月。
组合优化中经过充分研究的几何对象是图形$ G $的完美匹配多边形-$ G $的所有完美匹配的入射向量的凸包。在有关完美匹配多面体的任何调查中，都可以假定$ G $是匹配覆盖的---也就是说，$ G $是一个连通图（顺序至少为2），并且$ G $的每个边都位于某个完美匹配。如果$ G $的完美匹配多边形仅以非负性和度约束为特征，则该图为Birkhoff-von Neumann。Balas的结果[North Holland Math。[J. Stud。，59（1981），1--13页]暗示，当且仅当$ G $不包含一对顶点不相交的奇数循环$（C_1，C_2）时，$ G $是伯克霍夫-冯·诺伊曼。 $，这样$ GV（C_1）-V（C_2）$具有完美的匹配。随之而来的是，相应的决策问题在co $ \ mathcal {NP} $中。但是，不知道它在$ \ mathcal {NP} $中。如果输入图是平面的，则问题出在$ \ mathcal {P} $中，这是由于Carvalho，Lucchesi和Murty的结果[J. 组合 理论系列 B，92（2004），319--324页] 最近，这些作者以及Kothari [SIAM J.Discrete Math。，32（2018），1478--1504页]表明，此问题等同于确定给定图是否为$的看似无关的问题。 \ overline {C_6} $-免费。多面体的组合直径是其$$$骨架图的直径。如果图形$ G $的完美匹配多边形的组合直径等于1，则它是PM紧凑的。Balinski和Russakoff [SIAM Rev.，16（1974），516--525页]和Chvátal[J. 组合 理论系列 B，18（1975），第138--154页]暗示，当且仅当$ G $不包含一对顶点不相交的偶数循环$（C_1，C_2）$使得$ GV时，$ G $是PM紧凑的。 （C_1）-V（C_2）$具有完美的匹配。同样，相应的决策问题在co $ \ mathcal {NP} $中，但未知在$ \ mathcal {NP} $中。如果输入图是二分的或接近二分的，则问题出在$ \ mathcal {P} $中，这是由于Wang等人的结果。[Discrete Math。，313（2013），第772--783页]。在本文中，我们考虑了上述问题的“交叉点”。我们给出Birkhoff-von Neumann以及PM-compact的匹配覆盖图的替代描述。我们的描述暗示相应的决策问题在$ \ mathcal {P} $中。138--154]表示，当且仅当$ G $不包含一对顶点不相交的偶数循环$（C_1，C_2）$使得$ GV（C_1）-V（C_2）时，$ G $是PM紧凑的）$具有完美的匹配。同样，相应的决策问题在co $ \ mathcal {NP} $中，但未知在$ \ mathcal {NP} $中。如果输入图是二分的或接近二分的，则问题出在$ \ mathcal {P} $中，这是由于Wang等人的结果。[Discrete Math。，313（2013），第772--783页]。在本文中，我们考虑了上述问题的“交叉点”。我们给出Birkhoff-von Neumann以及PM-compact的匹配覆盖图的替代描述。我们的描述暗示相应的决策问题在$ \ mathcal {P} $中。138--154]表示，当且仅当$ G $不包含一对顶点不相交的偶数循环$（C_1，C_2）$使得$ GV（C_1）-V（C_2）时，$ G $是PM紧凑的）$具有完美的匹配。同样，相应的决策问题在co $ \ mathcal {NP} $中，但未知在$ \ mathcal {NP} $中。如果输入图是二分的或接近二分的，则问题出在$ \ mathcal {P} $中，这是由于Wang等人的结果。[Discrete Math。，313（2013），第772--783页]。在本文中，我们考虑了上述问题的“交叉点”。我们给出Birkhoff-von Neumann以及PM-compact的匹配覆盖图的替代描述。我们的描述暗示相应的决策问题在$ \ mathcal {P} $中。同样，相应的决策问题在co $ \ mathcal {NP} $中，但不知道在$ \ mathcal {NP} $中。如果输入图是二分的或接近二分的，则问题出在$ \ mathcal {P} $中，这是由于Wang等人的结果。[Discrete Math。，313（2013），第772--783页]。在本文中，我们考虑了上述问题的“交叉点”。我们给出Birkhoff-von Neumann以及PM-compact的匹配覆盖图的替代描述。我们的描述暗示相应的决策问题在$ \ mathcal {P} $中。同样，相应的决策问题在co $ \ mathcal {NP} $中，但未知在$ \ mathcal {NP} $中。如果输入图是二分的或接近二分的，则问题出在$ \ mathcal {P} $中，这是由于Wang等人的结果。[Discrete Math。，313（2013），第772--783页]。在本文中，我们考虑了上述问题的“交叉点”。我们给出Birkhoff-von Neumann以及PM-compact的匹配覆盖图的替代描述。我们的描述暗示相应的决策问题在$ \ mathcal {P} $中。我们考虑上述问题的“交集”。我们给出Birkhoff-von Neumann以及PM-compact的匹配覆盖图的替代描述。我们的描述暗示相应的决策问题在$ \ mathcal {P} $中。我们考虑上述问题的“交叉点”。我们给出Birkhoff-von Neumann以及PM-compact的匹配覆盖图的替代描述。我们的描述暗示相应的决策问题在$ \ mathcal {P} $中。