A strong arc decomposition of a digraph $D=(V,A)$ is a decomposition of its arc set $A$ into two disjoint subsets $A_1$ and $A_2$ such that both of the spanning subdigraphs $D_1=(V,A_1)$ and $D_2=(V,A_2)$ are strong. Let $T$ be a digraph with $t$ vertices $u_1,\dots , u_t$ and let $H_1,\dots H_t$ be digraphs such that $H_i$ has vertices $u_{i,j_i},\ 1\le j_i\le n_i.$ Then the composition $Q=T[H_1,\dots , H_t]$ is a digraph with vertex set $\cup_{i=1}^t V(H_i)=\{u_{i,j_i}\mid 1\le i\le t, 1\le j_i\le n_i\}$ and arc set \[ \left(\cup^t_{i=1}A(H_i) \right) \cup \left( \cup_{u_iu_p\in A(T)} \{u_{ij_i}u_{pq_p} \mid 1\le j_i\le n_i, 1\le q_p\le n_p\} \right). \] We obtain a characterization of digraph compositions $Q=T[H_1,\dots H_t]$ which have a strong arc decomposition when $T$ is a semicomplete digraph and each $H_i$ is an arbitrary digraph. Our characterization generalizes a characterization by Bang-Jensen and Yeo (2003) of semicomplete digraphs with a strong arc decomposition and solves an open problem by Sun, Gutin and Ai (2018) on strong arc decompositions of digraph compositions $Q=T[H_1,\dots , H_t]$ in which $T$ is semicomplete and each $H_i$ is arbitrary. Our proofs are constructive and imply the existence of a polynomial algorithm for constructing a \good{} decomposition of a digraph $Q=T[H_1,\dots , H_t]$, with $T$ semicomplete, whenever such a decomposition exists.

中文翻译：

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半完全组合的弧不相交强跨越子图

一个有向图 $D=(V,A)$ 的强弧分解是将它的弧集 $A$ 分解成两个不相交的子集 $A_1​​$ 和 $A_2$，使得两个生成子有向图 $D_1=(V, A_1)$ 和 $D_2=(V,A_2)$ 很强。令 $T$ 是一个有 $t$ 顶点 $u_1,\dots , u_t$ 的有向图，并令 $H_1,\dots H_t$ 是一个有向图，使得 $H_i$ 有顶点 $u_{i,j_i},\ 1\le j_i\le n_i.$ 那么组合 $Q=T[H_1,\dots , H_t]$ 是一个顶点集为 $\cup_{i=1}^t V(H_i)=\{u_{i,j_i 的有向图}\mid 1\le i\le t, 1\le j_i\le n_i\}$ 和弧集 \[ \left(\cup^t_{i=1}A(H_i) \right) \cup \left( \cup_{u_iu_p\in A(T)} \{u_{ij_i}u_{pq_p} \mid 1\le j_i\le n_i, 1\le q_p\le n_p\} \right)。\] 我们获得了有向图组合 $Q=T[H_1,\dots H_t]$ 的特征，当 $T$ 是一个半完全有向图并且每个 $H_i$ 是一个任意有向图时，它具有强弧分解。我们的表征概括了 Bang-Jensen 和 Yeo (2003) 对具有强弧分解的半完全有向图的表征，并解决了 Sun、Gutin 和 Ai (2018) 关于有向图组合 $Q=T[H_1, \dots , H_t]$ 其中 $T$ 是半完全的，每个 $H_i$ 是任意的。我们的证明是建设性的，并暗示存在多项式算法，用于构造有向图 $Q=T[H_1,\dots,H_t]$ 的 \good{} 分解，其中 $T$ 是半完全的，只要存在这样的分解。H_t]$ 其中 $T$ 是半完全的，每个 $H_i$ 都是任意的。我们的证明是建设性的，并暗示存在多项式算法，用于构造有向图 $Q=T[H_1,\dots,H_t]$ 的 \good{} 分解，其中 $T$ 是半完全的，只要存在这样的分解。H_t]$ 其中 $T$ 是半完全的，每个 $H_i$ 都是任意的。我们的证明是建设性的，并暗示存在多项式算法，用于构造有向图 $Q=T[H_1,\dots,H_t]$ 的 \good{} 分解，其中 $T$ 是半完全的，只要存在这样的分解。