In this paper, we will prove a Liouville theorem for poly-harmonic functions on $${{\mathbb {R}}}^{n}_{+}$$ with Navier boundary conditions, that is, the nonnegative poly-harmonic functions u satisfying $$u(x)=o(|x|^{3})$$ at $$\infty $$ must assume the form $$\begin{aligned} u(x)=C x_{n} \end{aligned}$$ in $$\overline{{{\mathbb {R}}}^{n}_{+}}$$ , where $$n\ge 2$$ and C is a nonnegative constant. The assumption $$u(x)=o(|x|^{3})$$ at $$\infty $$ is optimal for us to derive the super poly-harmonic properties of u.

中文翻译：

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$${{\mathbb {R}}}^{n}_{+}$$R+n 上多谐函数的刘维尔定理

在本文中，我们将证明 $${{\mathbb {R}}}^{n}_{+}$$ 上的多调和函数的 Liouville 定理，具有 Navier 边界条件，即非负多调和在 $$\infty $$ 处满足 $$u(x)=o(|x|^{3})$$ 的函数 u 必须采用 $$\begin{aligned} u(x)=C x_{n} 形式\end{aligned}$$ in $$\overline{{{\mathbb {R}}}^{n}_{+}}$$ ，其中 $$n\ge 2$$ 和 C 是一个非负常数。假设 $$u(x)=o(|x|^{3})$$ 在 $$\infty $$ 是我们推导出 u 的超多谐波性质的最佳选择。