In this paper, on $\mathbb{D}$ we define Cowen-Douglas function introduced by Cowen-Douglas operator $M_\phi^*$ on Hardy space $\mathcal{H}^2(\mathbb{D})$ and we give a sufficient condition for Cowen-Douglas function, where $\phi\in\mathcal{H}^\infty(\mathbb{D})$. Moreover, we give some applications of Cowen-Douglas function on chaos, such as application on the inverse chaos problem for $\phi(T)$, where $\phi$ is a Cowen-Douglas function and $T$ is the backward shift operator on $\mathcal{L}^2(\mathbb{N})$.

中文翻译：

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Cowen-Douglas 函数及其在混沌中的应用

在本文中，我们在 $\mathbb{D}$ 上定义了由 Cowen-Douglas 算子 $M_\phi^*$ 在 Hardy 空间 $\mathcal{H}^2(\mathbb{D})$ 上引入的 Cowen-Douglas 函数并且我们给出了 Cowen-Douglas 函数的充分条件，其中 $\phi\in\mathcal{H}^\infty(\mathbb{D})$。此外，我们还给出了 Cowen-Douglas 函数在混沌中的一些应用，例如在 $\phi(T)$ 的逆混沌问题上的应用，其中 $\phi$ 是 Cowen-Douglas 函数，$T$ 是后移$\mathcal{L}^2(\mathbb{N})$ 上的运算符。