Let $v=2ms+t$ be a positive integer, where $t$ divides $2ms$, and let $J$ be the subgroup of order $t$ of the cyclic group $\mathbb{Z}_v$. An integer Heffter array $H_t(m,n;s,k)$ over $\mathbb{Z}_v$ relative to $J$ is an $m\times n$ partially filled array with elements in $\mathbb{Z}_v$ such that: (a) each row contains $s$ filled cells and each column contains $k$ filled cells; (b) for every $x\in \mathbb{Z}_v \setminus J$, either $x$ or $-x$ appears in the array; (c) the elements in every row and column, viewed as integers in $\pm\left\{ 1, \ldots, \left\lfloor \frac{v}{2}\right\rfloor \right\}$, sum to $0$ in $\mathbb{Z}$. In this paper we study the existence of an integer $H_t(m,n;s,k)$ when $s$ and $k$ are both even, proving the following results. Suppose that $4\leq s\leq n$ and $4\leq k \leq m$ are such that $ms=nk$. Let $t$ be a divisor of $2ms$. (a) If $s,k \equiv 0 \pmod 4$, there exists an integer $H_t(m,n;s,k)$. (b) If $s\equiv 2\pmod 4$ and $k\equiv 0 \pmod 4$, there exists an integer $H_t(m,n;s,k)$ if and only if $m$ is even. (c) If $s\equiv 0\pmod 4$ and $k\equiv 2 \pmod 4$, then there exists an integer $H_t(m,n;s,k)$ if and only if $n$ is even. (d) Suppose that $m$ and $n$ are both even. If $s,k\equiv 2 \pmod 4$, then there exists an integer $H_t(m,n;s,k)$.

中文翻译：

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关于整数相对 Heffter 数组的存在

令$v=2ms+t$为正整数，其中$t$除以$2ms$，令$J$为循环群$\mathbb{Z}_v$的阶$t$的子群。在 $\mathbb{Z}_v$ 上相对于 $J$ 的整数 Heffter 数组 $H_t(m,n;s,k)$ 是 $m\times n$ 部分填充的数组，其中元素位于 $\mathbb{Z} _v$ 使得： (a) 每行包含 $s$ 个填充单元格，每列包含 $k$ 个填充单元格；(b) 对于每个 $x\in \mathbb{Z}_v \setminus J$，$x$ 或 $-x$ 出现在数组中；(c) 每一行每一列的元素，在 $\pm\left\{ 1, \ldots, \left\lfloor \frac{v}{2}\right\rfloor \right\}$, sum到 $\mathbb{Z}$ 中的 $0$。在本文中，我们研究了当 $s$ 和 $k$ 都是偶数时整数 $H_t(m,n;s,k)$ 的存在性，证明了以下结果。假设 $4\leq s\leq n$ 和 $4\leq k \leq m$ 使得 $ms=nk$。令 $t$ 是 $2ms$ 的除数。(a) 若$s,k \equiv 0 \pmod 4$，则存在整数$H_t(m,n;s,k)$。(b) 如果 $s\equiv 2\pmod 4$ 和 $k\equiv 0 \pmod 4$，存在整数 $H_t(m,n;s,k)$ 当且仅当 $m$ 是偶数。(c) 如果 $s\equiv 0\pmod 4$ 和 $k\equiv 2 \pmod 4$，则存在整数 $H_t(m,n;s,k)$ 当且仅当 $n$ 是偶数. (d) 假设 $m$ 和 $n$ 都是偶数。若$s,k\equiv 2 \pmod 4$，则存在整数$H_t(m,n;s,k)$。