Traditional time-domain finite-element and spectral-element methods are known to suffer from the so-called low-frequency breakdown problem, where the system matrix can become ill-conditioned, and results can be unstable for electrically fine structures. In this article, a new mixed spectral-element time-domain (SETD) and finite-element time-domain (FETD) methods are proposed to overcome this low-frequency breakdown problem by constraint equations and tree-cotree splitting. Two forms of gradient matrices or the null space of the stiffness matrix of high-order basis functions are calculated to construct the constraint equations. Then, the constraint equations are directly applied in the time-stepping matrix equation by tree-cotree splitting to improve the properties of system matrices when the implicit Newmark-beta algorithm is adopted in two different forms. In the calculation of the first form of gradient matrix, the electric field is expanded by high-order edge basis functions; in the second form of gradient matrix, high-order edge basis functions associated with cotree edges and nodal basis functions defined on the free nodes are both employed to expand the electric field. Several numerical examples demonstrate that the new mixed SETD and mixed FETD methods can effectively overcome the low-frequency breakdown with high accuracy and without increasing the number of degrees of freedom over the conventional SETD and FETD methods.

中文翻译：

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新的混合 SETD 和 FETD 方法通过 Tree-Cotree 分裂克服低频击穿问题

已知传统的时域有限元和谱元方法存在所谓的低频击穿问题，其中系统矩阵可能变得病态，并且电学精细结构的结果可能不稳定。在本文中，提出了一种新的混合谱元时域 (SETD) 和有限元时域 (FETD) 方法，以通过约束方程和树-cotree 分裂来克服这种低频击穿问题。计算两种形式的梯度矩阵或高阶基函数刚度矩阵的零空间来构造约束方程。然后，当采用两种不同形式的隐式Newmark-beta算法时，约束方程通过树-cotree分裂直接应用于时间步长矩阵方程，以改善系统矩阵的性质。在梯度矩阵的第一种形式的计算中，电场通过高阶边缘基函数进行扩展；在梯度矩阵的第二种形式中，与cotree边缘相关的高阶边缘基函数和定义在自由节点上的节点基函数都用于扩展电场。几个数值例子表明，与传统的 SETD 和 FETD 方法相比，新的混合 SETD 和混合 FETD 方法可以有效地以高精度克服低频击穿，并且不会增加自由度数。在梯度矩阵的第一种形式的计算中，电场通过高阶边缘基函数进行扩展；在梯度矩阵的第二种形式中，与cotree边缘相关的高阶边缘基函数和定义在自由节点上的节点基函数都用于扩展电场。几个数值例子表明，与传统的 SETD 和 FETD 方法相比，新的混合 SETD 和混合 FETD 方法可以有效地以高精度克服低频击穿，并且不会增加自由度数。在梯度矩阵的第一种形式的计算中，电场通过高阶边缘基函数进行扩展；在梯度矩阵的第二种形式中，与cotree边缘相关的高阶边缘基函数和定义在自由节点上的节点基函数都用于扩展电场。几个数值例子表明，与传统的 SETD 和 FETD 方法相比，新的混合 SETD 和混合 FETD 方法可以有效地以高精度克服低频击穿，并且不会增加自由度数。与 cotree 边相关的高阶边基函数和定义在自由节点上的节点基函数都用于扩展电场。几个数值例子表明，与传统的 SETD 和 FETD 方法相比，新的混合 SETD 和混合 FETD 方法可以有效地以高精度克服低频击穿，并且不会增加自由度数。与 cotree 边相关的高阶边基函数和定义在自由节点上的节点基函数都用于扩展电场。几个数值例子表明，与传统的 SETD 和 FETD 方法相比，新的混合 SETD 和混合 FETD 方法可以有效地以高精度克服低频击穿，并且不会增加自由度数。