Abstract We study the self-similar blow-up profiles associated to the following second-order reaction-diffusion equation with strong weighted reaction and unbounded weight: ∂ t ⁡ u = ∂ x ⁢ x ⁡ ( u m ) + | x | σ ⁢ u p , \partial_{t}u=\partial_{xx}(u^{m})+|x|^{\sigma}u^{p}, posed for x ∈ ℝ {x\in\mathbb{R}} , t ≥ 0 {t\geq 0} , where m > 1 {m>1} , 0 < p < 1 {0 2 ⁢ ( 1 - p ) m - 1 {\sigma>\frac{2(1-p)}{m-1}} . As a first outcome, we show that finite time blow-up solutions in self-similar form exist for m + p > 2 {m+p>2} and σ in the considered range, a fact that is completely new: in the already studied reaction-diffusion equation without weights there is no finite time blow-up when p < 1 {p<1} . We moreover prove that, if the condition m + p > 2 {m+p>2} is fulfilled, all the self-similar blow-up profiles are compactly supported and there exist two different interface behaviors for solutions of the equation, corresponding to two different interface equations. We classify the self-similar blow-up profiles having both types of interfaces and show that in some cases global blow-up occurs, and in some other cases finite time blow-up occurs only at space infinity. We also show that there is no self-similar solution if m + p < 2 {m+p<2} , while the critical range m + p = 2 {m+p=2} with σ > 2 {\sigma>2} is postponed to a different work due to significant technical differences.

中文翻译：

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具有强加权反应的反应扩散方程的自相似爆破曲线

摘要 我们研究了与以下具有强加权反应和无界权重的二阶反应扩散方程相关的自相似爆破剖面：∂ t ⁡ u = ∂ x ⁢ x ⁡ ( um ) + | × | σ ⁢ up , \partial_{t}u=\partial_{xx}(u^{m})+|x|^{\sigma}u^{p}, 提出 x ∈ ℝ {x\in\mathbb{ R}} , t ≥ 0 {t\geq 0} , 其中 m > 1 {m>1} , 0 < p < 1 {0 2 ⁢ ( 1 - p ) m - 1 {\sigma>\frac{2( 1-p)}{m-1}}。作为第一个结果，我们表明对于 m + p > 2 {m+p>2} 和 σ 在所考虑的范围内，存在自相似形式的有限时间爆炸解，这是一个全新的事实：在已经研究了没有权重的反应扩散方程，当 p < 1 {p<1} 时没有有限时间爆炸。我们还证明，如果满足条件 m + p > 2 {m+p>2}，所有自相似爆破剖面都得到紧凑支持，方程的解存在两种不同的界面行为，对应于两个不同的界面方程。我们对具有两种类型界面的自相似爆破剖面进行分类，并表明在某些情况下会发生全局爆破，而在其他一些情况下，有限时间爆破仅发生在无限空间。我们还表明，如果 m + p < 2 {m+p<2} 没有自相似解，而临界范围 m + p = 2 {m+p=2} σ > 2 {\sigma>2由于重大的技术差异，被推迟到不同的工作。我们对具有两种类型界面的自相似爆破剖面进行分类，并表明在某些情况下会发生全局爆破，而在其他一些情况下，有限时间爆破仅发生在无限空间。我们还表明，如果 m + p < 2 {m+p<2} 没有自相似解，而临界范围 m + p = 2 {m+p=2} σ > 2 {\sigma>2由于重大的技术差异，被推迟到不同的工作。我们对具有两种类型界面的自相似爆破剖面进行分类，并表明在某些情况下会发生全局爆破，而在其他一些情况下，有限时间爆破仅发生在无限空间。我们还表明，如果 m + p < 2 {m+p<2} 没有自相似解，而临界范围 m + p = 2 {m+p=2} σ > 2 {\sigma>2由于重大的技术差异，被推迟到不同的工作。