Abstract Let us consider the non-local problem − L α u = f , α ∈ ( 0 , 1 ) , L is a second order self-adjoint elliptic operator in Ω ⊂ R d with Neumann boundary conditions on ∂ Ω . The problem is discretized by finite difference or finite element method, thus obtaining the linear system A α u = f , A is sparse symmetric and positive semidefinite matrix. The proposed method is based on best uniform rational approximations (BURA) of degree k , r α , k , of the scalar function t α , t ∈ [ 0 , 1 ] . Then, the approximate solution u r of the fractional power linear system is defined as u ≈ u r = λ 2 − α r α , k ( λ 2 A † ) f , where λ 2 is the first positive eigenvalue of A , and A † stands for the Moore–Penrose pseudo inverse of A . The BURA method reduces the non-local problem to solution of k linear systems with matrices A + d i I , d i > 0 , i = 1 , … , k . An exponential convergence rate with respect to k is proven. The error estimates are robust with respect to the condition number of A in the subspace orthogonal to the constant vectors. The algorithm has almost optimal computational complexity assuming that optimal iterative solvers are applied to the auxiliary sparse linear systems. The first group of numerical tests illustrates in detail the obtained theoretical results. Finite difference discretization of a model 2D problem is used for this purpose. The second part of numerical tests demonstrates the applicability of BURA methods for 3D problems in domains with general geometry. Linear finite elements on unstructured tetrahedral meshes with local mesh refinement are used in the presented large-scale experiments, confirming also the almost optimal computational complexity.

中文翻译：

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诺依曼分数扩散问题：BURA 求解方法和算法

摘要 让我们考虑非局部问题 − L α u = f , α ∈ ( 0 , 1 ) ，L 是Ω ⊂ R d 中的二阶自伴随椭圆算子，在∂ Ω 上具有Neumann 边界条件。通过有限差分或有限元方法对问题进行离散化，从而得到线性系统A α u = f ，A 为稀疏对称半正定矩阵。所提出的方法基于标量函数 t α , t ∈ [ 0 , 1 ] 的 k , r α , k 度的最佳均匀有理近似 (BURA)。然后，分数幂线性系统的近似解 ur 定义为 u ≈ ur = λ 2 − α r α , k ( λ 2 A † ) f ，其中 λ 2 是 A 的第一个正特征值，A † 代表对于 A 的 Moore-Penrose 伪逆。BURA 方法将非局部问题简化为矩阵 A + di I , di > 0 的 k 个线性系统的解，i = 1 , … , k 。证明了关于 k 的指数收敛速度。误差估计对于正交于常数向量的子空间中 A 的条件数是稳健的。假设最优迭代求解器应用于辅助稀疏线性系统，该算法具有几乎最优的计算复杂度。第一组数值试验详细说明了所得到的理论结果。为此目的使用模型 2D 问题的有限差分离散化。数值测试的第二部分展示了 BURA 方法在一般几何领域中 3D 问题的适用性。在呈现的大规模实验中使用了具有局部网格细化的非结构化四面体网格上的线性有限元，这也证实了几乎最佳的计算复杂性。。证明了关于 k 的指数收敛速度。误差估计对于正交于常数向量的子空间中 A 的条件数是稳健的。假设最优迭代求解器应用于辅助稀疏线性系统，该算法具有几乎最优的计算复杂度。第一组数值试验详细说明了所得到的理论结果。为此目的使用模型 2D 问题的有限差分离散化。数值测试的第二部分展示了 BURA 方法在一般几何领域中 3D 问题的适用性。在呈现的大规模实验中使用了具有局部网格细化的非结构化四面体网格上的线性有限元，这也证实了几乎最佳的计算复杂性。。证明了关于 k 的指数收敛速度。误差估计对于正交于常数向量的子空间中 A 的条件数是稳健的。假设最优迭代求解器应用于辅助稀疏线性系统，该算法具有几乎最优的计算复杂度。第一组数值试验详细说明了所得到的理论结果。为此目的使用模型 2D 问题的有限差分离散化。数值测试的第二部分展示了 BURA 方法在一般几何领域中 3D 问题的适用性。在呈现的大规模实验中使用了具有局部网格细化的非结构化四面体网格上的线性有限元，这也证实了几乎最佳的计算复杂性。证明了关于 k 的指数收敛速度。误差估计对于正交于常数向量的子空间中 A 的条件数是稳健的。假设最优迭代求解器应用于辅助稀疏线性系统，该算法具有几乎最优的计算复杂度。第一组数值试验详细说明了所得到的理论结果。为此目的使用模型 2D 问题的有限差分离散化。数值测试的第二部分展示了 BURA 方法在一般几何领域中 3D 问题的适用性。在呈现的大规模实验中使用了具有局部网格细化的非结构化四面体网格上的线性有限元，这也证实了几乎最佳的计算复杂性。证明了关于 k 的指数收敛速度。误差估计对于正交于常数向量的子空间中 A 的条件数是稳健的。假设最优迭代求解器应用于辅助稀疏线性系统，该算法具有几乎最优的计算复杂度。第一组数值试验详细说明了所得到的理论结果。为此目的使用模型 2D 问题的有限差分离散化。数值测试的第二部分展示了 BURA 方法在一般几何领域中 3D 问题的适用性。在呈现的大规模实验中使用了具有局部网格细化的非结构化四面体网格上的线性有限元，这也证实了几乎最佳的计算复杂性。