A code X is k-circular if any concatenation of at most k words from X, when read on a circle, admits exactly one partition into words from X. It is circular if it is k-circular for every integer k. While it is not a priori clear from the definition, there exists, for every pair \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$(n,\ell )$$\end{document}(n,ℓ), an integer k such that every k-circular \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\ell $$\end{document}ℓ-letter code over an alphabet of cardinality n is circular, and we determine the least such integer k for all values of n and \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\ell $$\end{document}ℓ. The k-circular codes may represent an important evolutionary step between the circular codes, such as the comma-free codes, and the genetic code.

中文翻译：

---

k-循环性与代码循环性的关系

一个代码 X 是 k 循环的，如果来自 X 的至多 k 个单词的任何串联，当在一个圆圈上读取时，允许恰好一个分区为来自 X 的单词。如果它对于每个整数 k 都是 k 循环，则它是循环的。虽然从定义中不是先验明确的，但存在，对于每一对 \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$(n,\ell )$$\end{document}(n,ℓ), 一个整数 k 使得每个 k 循环 \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{ upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\ell $$\end{document}ℓ-在基数 n 的字母表上的字母代码是循环的，我们确定最小的这样的整数 k n 和 \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength 的所有值{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\ell $$\end{document}ℓ. k-循环代码可能代表循环代码（例如无逗号代码）和遗传代码之间的重要进化步骤。我们确定 n 和 \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{ 的最小这样的整数 k mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\ell $$\end{document}ℓ. k-循环代码可能代表循环代码（例如无逗号代码）和遗传代码之间的重要进化步骤。我们确定 n 和 \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{ 的最小这样的整数 k mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\ell $$\end{document}ℓ. k-循环代码可能代表循环代码（例如无逗号代码）和遗传代码之间的重要进化步骤。