SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 58, Issue 4, Page 2256-2287, January 2020.
In this paper, we propose a novel space semidiscretized finite difference scheme for approximation of the one-dimensional wave equation under boundary feedback. This scheme, referred to as the order reduction finite difference scheme, does not use numerical viscosity and yet preserves the uniform exponential stability. The paper consists of four parts. In the first part, the original wave equation is first transformed by order reduction into an equivalent system. A standard semidiscretized finite difference scheme is then constructed for the equivalent system. It is shown that the semidiscretized scheme is second-order convergent and that the discretized energy converges to the continuous energy. Very unexpectedly, the discretized energy also preserves uniformly exponential decay. In the second part, an order reduction finite difference scheme for the original system is derived directly from the discrete scheme developed in the first part. The uniformly exponential decay, convergence of the solutions, as well as uniform convergence of the discretized energy are established for the original system. In the third part, we develop the uniform observability of the semidiscretized system and the uniform controllability of the Hilbert uniqueness method controls. Finally, in the last part, under a different implicit finite difference scheme for time, two numerical experiments are conducted to show that the proposed implicit difference schemes preserve the uniformly exponential decay.

中文翻译：

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一维波动方程一致逼近的新半离散阶数降阶差分格式

SIAM控制与优化杂志，第58卷，第4期，第2256-2287页，2020年1月。
本文针对边界反馈下的一维波动方程，提出了一种新颖的空间半离散有限差分格式。此方案称为降阶有限差分方案，它不使用数值粘度，但保留了均匀的指数稳定性。本文分为四个部分。在第一部分中，原始波方程首先通过降阶转换为等效系统。然后为等效系统构造标准的半离散有限差分方案。结果表明，半离散方案是二阶收敛的，离散能量收敛为连续能量。非常出乎意料的是，离散能量还保留了均匀的指数衰减。在第二部分中 直接从第一部分中开发的离散方案中导出原始系统的阶数减少有限差分方案。对于原始系统，建立了均匀指数衰减，解的收敛以及离散能量的均匀收敛。在第三部分中，我们开发了半离散系统的一致可观性和希尔伯特唯一方法控件的一致可控性。最后，在最后一部分中，在不同的时间隐式有限差分方案下，进行了两个数值实验，表明所提出的隐式差分方案保留了均匀指数衰减。为原始系统建立了离散能量的统一收敛。在第三部分中，我们开发了半离散系统的一致可观性和希尔伯特唯一方法控件的一致可控性。最后，在最后一部分中，在不同的时间隐式有限差分方案下，进行了两个数值实验，表明所提出的隐式差分方案保留了均匀指数衰减。为原始系统建立了离散能量的统一收敛。在第三部分中，我们开发了半离散系统的一致可观性和希尔伯特唯一方法控件的一致可控性。最后，在最后一部分中，在不同的时间隐式有限差分方案下，进行了两个数值实验，表明所提出的隐式差分方案保留了均匀指数衰减。