Multiscale Modeling &Simulation, Volume 18, Issue 3, Page 1318-1342, January 2020.
Empirical studies indicate the presence of multiscales in the volatility of underlying assets: A fast-scale on the order of days and a slow-scale on the order of months. In our previous works, we have studied the portfolio optimization problem in a Markovian setting under each single scale, the slow one in [J.-P. Fouque and R. Hu, SIAM J. Control Optim., 55 (2017), pp. 1990--2023], and the fast one in [R. Hu, Asymptotic optimal portfolio in fast mean-reverting stochastic environments, in Proceedings of the 2018 IEEE CDC, 2018, pp. 5771--5776]. This paper is dedicated to the analysis when the two scales co-exist in a Markovian setting. We study the terminal wealth utility maximization problem when the volatility is driven by both fast- and slow-scale factors. We first propose a zeroth order strategy, and rigorously establish the first order approximation of the associated problem value. This is done by analyzing the corresponding linear partial differential equation (PDE) via regular and singular perturbation techniques, as in the single-scale cases. Then, we show the asymptotic optimality of our proposed strategy by comparing its performance to admissible strategies of a specific form. Interestingly, we highlight that a pure PDE approach does not work in the multiscale case and, instead, we use the so-called epsilon-martingale decomposition. This completes the analysis of portfolio optimization in both fast mean-reverting and slowly varying Markovian stochastic environments.

中文翻译：

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随机环境下投资组合优化的多尺度渐近分析

2020年1月，《多尺度建模与仿真》，第18卷，第3期，第1318-1342页。
实证研究表明，标的资产的波动性存在多尺度：快速尺度为数天，慢速尺度为数月。在我们以前的工作中，我们研究了在每个单一规模下的马尔可夫环境下的投资组合优化问题，这是[J.-P. Fouque和R.Hu，SIAM J.Control Optim。，55（2017），第1990--2023页]，以及[R. 胡，快速均值回复随机环境中的渐近最优组合，在《 2018 IEEE CDC会议录》中，2018年，第5771--5776页。本文致力于在马尔可夫环境中两个标尺共存时的分析。当波动率由快速和慢速因素共同驱动时，我们研究了终端财富效用最大化问题。我们首先提出零阶策略，并严格建立相关问题值的一阶近似值。与单尺度情况一样，这是通过常规和奇异摄动技术分析相应的线性偏微分方程（PDE）来完成的。然后，通过将其性能与特定形式的可接受策略进行比较，来证明所提出策略的渐近最优性。有趣的是，我们强调纯PDE方法在多尺度情况下不起作用，而是使用所谓的epsilon-martingale分解。这样就完成了快速均值回复和缓慢变化的马尔可夫随机环境中投资组合优化的分析。与单尺度情况一样，这是通过常规和奇异摄动技术分析相应的线性偏微分方程（PDE）来完成的。然后，通过将其性能与特定形式的可接受策略进行比较，来证明所提出策略的渐近最优性。有趣的是，我们强调纯PDE方法在多尺度情况下不起作用，而是使用所谓的epsilon-martingale分解。这样就完成了快速均值回复和缓慢变化的马尔可夫随机环境中投资组合优化的分析。与单尺度情况一样，这是通过常规和奇异摄动技术分析相应的线性偏微分方程（PDE）来完成的。然后，通过将其性能与特定形式的可接受策略进行比较，来证明所提出策略的渐近最优性。有趣的是，我们强调纯PDE方法在多尺度情况下不起作用，而是使用所谓的epsilon-martingale分解。这样就完成了快速均值回复和缓慢变化的马尔可夫随机环境中投资组合优化的分析。我们强调纯PDE方法在多尺度情况下不起作用，而是使用所谓的epsilon-martingale分解。这样就完成了快速均值回复和缓慢变化的马尔可夫随机环境中投资组合优化的分析。我们强调纯PDE方法在多尺度情况下不起作用，而是使用所谓的epsilon-martingale分解。这样就完成了快速均值回复和缓慢变化的马尔可夫随机环境中投资组合优化的分析。