We study the well‐posedness of the fractional degenerate integro‐differential equations

$$\begin{array}{ccc}\hfill (P_{\alpha }):D^{\alpha }(Mu)(t)& =& Au(t)+{\int }_{-\infty }^{t}a(t-s)Au(s)ds\hfill \\ & & +{\int }_{-\infty }^{t}b(t-s)Bu(s)ds+f(t),(t\in \mathbb{T}:=[0,2\pi ]),\hfill \end{array}$$

in Lebesgue–Bochner spaces $L^p(\mathbb{T};X)$ and Besov spaces $B_{p,q}^s(\mathbb{T};X)$, where A, B and M are closed linear operators on a Banach space X satisfying $D(A)\cap D(B)\subset D(M)$, $D(A)\cap D(B)\ne \{0\}$, $\alpha >0$ and $a,b\in L^1\left({\mathbb{R}}_{+}\right)$. We completely characterize the well‐posedness of $\left(P_{\alpha }\right)$ in the above vector‐valued function spaces on $\mathbb{T}$ by using operator‐valued Fourier multiplier. We also give an example that our abstract results may be applied.

中文翻译：

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向量值泛函空间中退化分数阶积分微分方程的适定性

我们研究分数退化简微积分方程的适定性

$$\begin{array}{ccc}\hfill （P_{\alpha }）：d^{\alpha }（\mathrm{中号}ü）（Ť）& =& \mathrm{一种}ü（Ť）+{\int }_{-\infty }^{Ť}\mathrm{一种}（Ť-s）\mathrm{一种}ü（s）ds\hfill \\ & & +{\int }_{-\infty }^{Ť}b（Ť-s）乙ü（s）ds+F（Ť），（Ť\in \mathbb{Ť}：=[0，2\pi ]），\hfill \end{array}$$

在勒贝格-博克纳空间 ${\mathrm{大号}}^p（\mathbb{Ť};X）$ 和贝索夫空间 ${乙}_{p，q}^s（\mathbb{Ť};X）$，其中A，B和M是Banach空间X上满足的封闭线性算子$d（\mathrm{一种}）\cap d（乙）\subset d（\mathrm{中号}）$， $d（\mathrm{一种}）\cap d（乙）\ne \{0\}$， $\alpha >0$ 和 $\mathrm{一种}，b\in {\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}_{+}）$。我们完全刻画了$（P_{\alpha }）$ 在上面的向量值函数空间中 $\mathbb{Ť}$通过使用运算符值的傅立叶乘法器。我们还举一个例子，说明可以应用我们的抽象结果。