We know that in Ringel-Hall algebra of Dynkin type, the set of all skew commutator relations between the iso-classes of indecomposable modules forms a minimal Grobner-Shirshov basis, and the corresponding irreducible elements forms a PBW type basis of the Ringel-Hall algebra. We aim to generalize this result to the derived Hall algebra DH(An) of type An. First, we compute all skew commutator relations between the iso-classes of indecomposable objects in the bounded derived category Db(An) using the Auslander-Reiten quiver of Db(An), and then we prove that all possible compositions between these skew commutator relations are trivial. As an application, we give a PBW type basis of DH(An).

中文翻译：

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An 型派生霍尔代数的 Gröbner-Shirshov 基

我们知道，在 Dynkin 型的 Ringel-Hall 代数中，不可分解模的 iso 类之间的所有斜交换子关系的集合构成了一个最小的 Grobner-Shirshov 基，相应的不可约元素构成了 Ringel-Hall 的 PBW 型基代数。我们的目标是将这个结果推广到 An 类型的派生霍尔代数 DH(An)。首先，我们使用 Db(An) 的 Auslander-Reiten quiver 计算了有界派生类别 Db(An) 中不可分解对象的 iso-classes 之间的所有斜交换子关系，然后我们证明了这些斜交换子关系之间的所有可能组合是微不足道的。作为应用，我们给出DH(An)的PBW型基。