We consider the Cauchy problem of the modified KdV equation (mKdV). Local well-posedness of this problem is obtained in modulation spaces $M^{1/4}_{2,q}(\mathbb{{R}})$ $(2\leq q\leq\infty)$. Moreover, we show that the data-to-solution map fails to be $C^3$ continuous in $M^{s}_{2,q}(\mathbb{{R}})$ when $s<1/4$. It is well-known that $H^{1/4}$ is a critical Sobolev space of mKdV so that it is well-posedness in $H^s$ for $s\geq 1/4$ and ill-posed (in the sense of uniform continuity) in $H^{s'}$ with $s'<1/4$. Noticing that $M^{1/4}_{2,q} \subset B^{1/q-1/4}_{2,q}$ is a sharp embedding and $H^{-1/4}\subset B^{-1/4}_{2,\infty}$, our results contains all of the subcritical data in $M^{1/4}_{2,q}$, which contains a class of functions in $H^{-1/4}\setminus H^{1/4}$.

中文翻译：

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亚临界调制空间中修正 KdV 方程的局部良好和不适定性

我们考虑修正的 KdV 方程 (mKdV) 的柯西问题。这个问题的局部适定性是在调制空间 $M^{1/4}_{2,q}(\mathbb{{R}})$ $(2\leq q\leq\infty)$ 中获得的。此外，我们表明，当 $s<1/ 时，数据到解决方案的映射不能在 $M^{s}_{2,q}(\mathbb{{R}})$ 中连续 $C^3$ 4美元。众所周知，$H^{1/4}$ 是 mKdV 的一个临界 Sobolev 空间，因此它在 $H^s$ 中对于 $s\geq 1/4$ 是适定性的（在$H^{s'}$ 中的统一连续性的感觉，$s'<1/4$。注意到 $M^{1/4}_{2,q} \subset B^{1/q-1/4}_{2,q}$ 是一个尖锐的嵌入，而 $H^{-1/4} \subset B^{-1/4}_{2,\infty}$，我们的结果包含$M^{1/4}_{2,q}$中的所有亚临界数据，其中包含一类函数在 $H^{-1/4}\setminus H^{1/4}$ 中。