Fiber reinforced materials (FRMs) can be modeled as bi-phasic materials, where different constitutive behaviors are associated with different phases. The numerical study of FRMs through a full geometrical resolution of the two phases is often computationally infeasible, and therefore most works on the subject resort to homogenization theory, and exploit strong regularity assumptions on the fibers distribution. Both approaches fall short in intermediate regimes where lack of regularity does not justify a homogenized approach, and when the fiber geometry or their numerosity render the fully resolved problem numerically intractable. In this paper, we propose a distributed Lagrange multiplier approach, where the effect of the fibers is superimposed on a background isotropic material through an independent description of the fibers. The two phases are coupled through a constraint condition, opening the way for intricate fiber-bulk couplings as well as allowing complex geometries with no alignment requirements between the discretisation of the background elastic matrix and the fibers. We analyze both a full order coupling, where the elastic matrix is coupled with fibers that have a finite thickness, as well as a reduced order model, where the position of their centerline uniquely determines the fibers. Well posedness, existence, and uniquess of solutions are shown both for the continuous models, and for the finite element discretizations. We validate our approach against the models derived by the rule of mixtures, and by the Halpin-Tsai formulation.

中文翻译：

---

通过非匹配浸入法对纤维增强材料进行多尺度建模

纤维增强材料 (FRM) 可以建模为双相材料，其中不同的本构行为与不同的相相关。通过两相的完整几何分辨率对 FRM 进行数值研究通常在计算上是不可行的，因此该主题的大多数工作都求助于均质化理论，并利用对纤维分布的强规律性假设。这两种方法在缺乏规律性并不能证明均质化方法合理的中间状态中都存在不足，并且当纤维几何形状或其数量使完全解决的问题在数值上变得难以处理时。在本文中，我们提出了一种分布式拉格朗日乘数方法，其中通过对纤维的独立描述，将纤维的影响叠加在背景各向同性材料上。两相通过约束条件耦合，为复杂的纤维体耦合开辟了道路，并允许复杂的几何形状，背景弹性矩阵的离散化和纤维之间没有对齐要求。我们分析了全阶耦合，其中弹性矩阵与具有有限厚度的纤维耦合，以及降阶模型，其中它们的中心线的位置唯一地确定了纤维。连续模型和有限元离散化都显示了解的适定性、存在性和唯一性。我们根据由混合物规则和 Halpin-Tsai 公式得出的模型验证了我们的方法。为复杂的纤维体耦合开辟了道路，并允许复杂的几何形状，背景弹性矩阵的离散化和纤维之间没有对齐要求。我们分析了全阶耦合，其中弹性矩阵与具有有限厚度的纤维耦合，以及降阶模型，其中它们的中心线的位置唯一地确定了纤维。连续模型和有限元离散化都显示了解的适定性、存在性和唯一性。我们根据由混合物规则和 Halpin-Tsai 公式得出的模型验证了我们的方法。为复杂的纤维体耦合开辟了道路，并允许复杂的几何形状，背景弹性矩阵的离散化和纤维之间没有对齐要求。我们分析了全阶耦合，其中弹性矩阵与具有有限厚度的纤维耦合，以及降阶模型，其中它们的中心线的位置唯一地确定了纤维。连续模型和有限元离散化都显示了解的适定性、存在性和唯一性。我们根据由混合物规则和 Halpin-Tsai 公式得出的模型验证了我们的方法。其中弹性矩阵与具有有限厚度的纤维以及降阶模型耦合，其中它们的中心线的位置唯一地确定了纤维。连续模型和有限元离散化都显示了解的适定性、存在性和唯一性。我们根据由混合物规则和 Halpin-Tsai 公式得出的模型验证了我们的方法。其中弹性矩阵与具有有限厚度的纤维以及降阶模型耦合，其中它们的中心线的位置唯一地确定了纤维。连续模型和有限元离散化都显示了解的适定性、存在性和唯一性。我们根据由混合物规则和 Halpin-Tsai 公式得出的模型验证了我们的方法。