We evaluate the sum of Gauss hypergeometric functions \[S(\mu,c;x)=\sum_{k\geq 0} \bl(\frac{1-x}{1+\mu}\br)^k\,{}_2F_1(\fs k+\fs, \fs k+1;c;x)\] for $x\in [-1,1]$ and positive parameters $\mu$ and $c$. The domain of absolute convergence of this series is established by determining the growth of the hypergeometric function for $k\to+\infty$. An application to Galton-Watson branching processes arising in the theory of stochastic processes is presented. A new class of positive integer-valued distributions with power tails is introduced.

中文翻译：

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高斯超几何函数加权和的评估及其与高尔顿-沃森过程的联系

我们评估高斯超几何函数的总和 \[S(\mu,c;x)=\sum_{k\geq 0} \bl(\frac{1-x}{1+\mu}\br)^k\ ,{}_2F_1(\fs k+\fs, \fs k+1;c;x)\] 用于 $x\in [-1,1]$ 和正参数 $\mu$ 和 $c$。该级数的绝对收敛域是通过确定 $k\to+\infty$ 的超几何函数的增长来建立的。介绍了在随机过程理论中出现的 Galton-Watson 分支过程的应用。引入了一类新的具有幂尾的正整数值分布。