We show that \(t^{s/2} \| (\boldsymbol{u},\boldsymbol{b})(t) \|_{{\dot{H}^{s}(\mathbb{R}^{n})}} \to0 \) as \(t \to\infty\) for global Leray solutions \((\boldsymbol{u},\boldsymbol{b})(t)\) of the incompressible MHD equations, where \(2 \leq n \leq4\) and \(s \geq0\) (real). We also provide some related results and, as a consequence, the following general decay property:$$ \lim_{t \to\infty} t^{\gamma(n,m,q)}\bigl\| \bigl(D^{m} \boldsymbol{u},D ^{m}\boldsymbol{b}\bigr) (t) \bigr\| _{\mathbf{L}^{q}(\mathbb{R}^{n})} = 0. $$Where \(\gamma(n,m,q) = \frac{n}{4} + \frac{m}{2} - \frac{n}{2q} \), for each \(2 \leq q \leq\infty\), \(n=2,3,4 \) and \(m\geq0 \) integer.

中文翻译：

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H s（R n）$ \ dot {\ boldsymbol {H} ^ {s}}（\ mathbb {R} ^ {n}）$中磁流体动力学系统的大时衰减

我们证明\（t ^ {s / 2} \ |（\ boldsymbol {u}，\ boldsymbol {b}）（t）\ | _ {{\ dot {H} ^ {s}（\ mathbb {R} ^ {n}）}} \ to0 \）作为不可压缩MHD方程的全局Leray解\（（\ boldsymbol {u}，\ boldsymbol {b}）（t）\）的\（t \ to \ infty \），其中\（2 \ leq n \ leq4 \）和\（s \ geq0 \）（真实）。我们还提供了一些相关结果，并因此提供了以下一般衰减属性：$$ \ lim_ {t \ to \ infty} t ^ {\ gamma（n，m，q）} \ bigl \ | \ bigl（D ^ {m} \ boldsymbol {u}，D ^ {m} \ boldsymbol {b} \ bigr）（t）\ bigr \ | _ {\ mathbf {L} ^ {q}（\ mathbb {R} ^ {n}）} =0。$$其中\（\ gamma（n，m，q）= \ frac {n} {4} + \ frac {m} {2}-\ frac {n} {2q} \），对于每个\（2 \ leq q \ leq \ infty \），\（n = 2,3,4 \）和\（m \ geq0 \）整数。