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Some remarks about the maximal perimeter of convex sets with respect to probability measures
Communications in Contemporary Mathematics ( IF 1.278 ) Pub Date : 2020-07-27 , DOI: 10.1142/s0219199720500376
Galyna V. Livshyts

In this note, we study the maximal perimeter of a convex set in n with respect to various classes of measures. Firstly, we show that for a probability measure μ on n, satisfying very mild assumptions, there exists a convex set of μ-perimeter at least CnVar|X|4𝔼|X|. This implies, in particular, that for any isotropic log-concave measure μ, one may find a convex set of μ-perimeter of order n18. Secondly, we derive a general upper bound of Cn||f||1n on the maximal perimeter of a convex set with respect to any log-concave measure with density f in an appropriate position.

Our lower bound is attained for a class of distributions including the standard normal distribution. Our upper bound is attained, say, for a uniform measure on the cube.

In addition, for isotropic log-concave measures, we prove an upper bound of order n2 for the maximal μ-perimeter of a convex set.



中文翻译:

关于概率测度的凸集最大周长的一些评论

在本文中,我们研究了凸集的最大周长 ñ关于各种措施。首先,我们表明对于概率测度μñ满足非常温和的假设,则存在一个凸集 μ-至少 CñVar|X|4𝔼|X| 这尤其意味着,对于任何各向同性的对数凹面量度 μ,可能会发现一组凸集 μ-订单周长 ñ1个8。其次,我们得出Cñ||F||1个ñ 凸集的最大周长相对于任何密度的对数-凹度 F 在适当的位置。

对于包括标准正态分布在内的一类分布,可以达到我们的下界。例如,达到对立方体的统一度量的上限。

另外,对于各向同性的凹凹测度,我们证明了阶数的上限 ñ2 为最大 μ-凸集的周长。

更新日期:2020-07-27
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