Let $\mathcal{S}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ be the Schwartz class on ${\mathbb{R}}^n$ and ${\mathcal{S}}_{\infty }\left({\mathbb{R}}^n\right)≔\left\{\varphi \in \mathcal{S}\left({\mathbb{R}}^n\right):{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{x}^{\alpha }\varphi \left(x\right)dx=0\text{for any multi-index}\alpha \in {\left(\{0,1,\dots \}\right)}^n\right\},$and ${\mathcal{S}}^{\prime }\left({\mathbb{R}}^n\right)$ and ${\mathcal{S}}_{\infty }^{\prime }\left({\mathbb{R}}^n\right)$ be their dual spaces, respectively. Let $\overrightarrow{a}≔(a_1,\dots ,a_n)\in {[1,\infty )}^n$, $\overrightarrow{p}≔(p_1,\dots ,p_n)\in {(0,1]}^n$, and $H_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{p}}\left({\mathbb{R}}^n\right)\subset {\mathcal{S}}^{\prime }\left({\mathbb{R}}^n\right)$ be the anisotropic mixed-norm Hardy space, associated with an anisotropic quasi-homogeneous norm ${\left|\cdot \right|}_{\overrightarrow{a}}$, defined via the non-tangential grand maximal function. In this article, via the known atomic characterizations and Lusin area function characterizations of $H_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{p}}\left({\mathbb{R}}^n\right)$, the authors first establish a new atomic characterization of $H_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{p}}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ in terms of ${\mathcal{S}}_{\infty }^{\prime }\left({\mathbb{R}}^n\right)$. Applying this atomic characterization, the authors then obtain the Littlewood–Paley $g$-function characterization of $H_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{p}}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ in terms of ${\mathcal{S}}_{\infty }^{\prime }\left({\mathbb{R}}^n\right)$, which further induces the identification of $H_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{p}}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ and certain anisotropic homogeneous mixed-norm Triebel–Lizorkin spaces. As applications, the authors obtain the dual theorem on some anisotropic homogeneous mixed-norm Triebel–Lizorkin spaces and the boundedness of Fourier multipliers as well as anisotropic pseudo-differential operators on $H_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{p}}\left({\mathbb{R}}^n\right)$. All these results are new even for isotropic mixed-norm Hardy spaces on ${\mathbb{R}}^n$.

让 $\mathcal{小号}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 成为施瓦茨课程 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$ 和 ${\mathcal{小号}}_{\infty }（{\mathbb{[R}}^{ñ}）≔\left\{\varphi \in \mathcal{小号}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）：{\int }_{{\mathbb{[R}}^{ñ}}{X}^{\alpha }\varphi （X）dX=0\text{对于任何多索引}\alpha \in {（\{0，\mathrm{1个}，\dots \}）}^{ñ}\right\}，$和 ${\mathcal{小号}}^{\prime }（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 和 ${\mathcal{小号}}_{\infty }^{\prime }（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$分别是它们的双重空间。让$\overrightarrow{\mathrm{一种}}≔（{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ñ}）\in {[\mathrm{1个}，\infty ）}^{ñ}$， $\overrightarrow{p}≔（p_{\mathrm{1个}}，\dots ，p_{ñ}）\in {（0，\mathrm{1个}]}^{ñ}$和 $H_{\overrightarrow{\mathrm{一种}}}^{\overrightarrow{p}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）\subset {\mathcal{小号}}^{\prime }（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 是各向异性混合范式Hardy空间，与各向异性拟齐范数相关 ${\left|\cdot \right|}_{\overrightarrow{\mathrm{一种}}}$，是通过非切线的Grand max函数定义的。在本文中，通过已知的原子表征和Lusin面函数表征$H_{\overrightarrow{\mathrm{一种}}}^{\overrightarrow{p}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$，作者首先建立了一个新的原子表征 $H_{\overrightarrow{\mathrm{一种}}}^{\overrightarrow{p}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 就......而言 ${\mathcal{小号}}_{\infty }^{\prime }（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$。应用这种原子特性，作者便获得了Littlewood–Paley$G$的功能表征 $H_{\overrightarrow{\mathrm{一种}}}^{\overrightarrow{p}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 就......而言 ${\mathcal{小号}}_{\infty }^{\prime }（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$，这进一步导致了对 $H_{\overrightarrow{\mathrm{一种}}}^{\overrightarrow{p}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$以及某些各向异性的齐次混合规范Triebel–Lizorkin空间。作为应用，作者获得了一些各向异性齐次混合范Triebel-Lizorkin空间上的对偶定理，以及Fourier乘子的有界性以及各向异性伪微分算子在$H_{\overrightarrow{\mathrm{一种}}}^{\overrightarrow{p}}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$。所有这些结果，即使对于上的各向同性混合范数Hardy空间，也是新的${\mathbb{[R}}^{ñ}$。